2009-大纲卷II文-07 单-对数比较大小

本题导读

考查比较大小。设 $t=\lg \mathrm{e}\in (0,1)$，则 $a=t$，$b=t^2$，$c=\frac{t}{2}$，比较三者大小。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 设 $a=\lg \mathrm{e}$，$b=(\lg \mathrm{e}{)}^2$，$c=\lg \sqrt{\mathrm{e}}$，则 ()

A. $a>b>c$　　　　　B. $a>c>b$　　　　　C. $c>a>b$　　　　　D. $c>b>a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $t=\lg \mathrm{e}$，由 $2.7<\mathrm{e}<10$ 得 $0<t<1$。
2. $a=t$，$b=t^2$，$c=\frac{1}{2}t$。
3. $0<t<1$ 时 $t^2<\frac{t}{2}⟺t<\frac{1}{2}$：$\lg \mathrm{e}\approx 0.434<\frac{1}{2}$，故 $b<c<a$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

记 $t=\lg \mathrm{e}$。由 $2<\mathrm{e}<\sqrt{10}$，得 $0<t<\frac{1}{2}$。 于是 $a=t$，$b=t^2$，$c=\lg {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}t$。 因为 $0<t<\frac{1}{2}$，所以 $t^2<\frac{t}{2}<t$，即 $b<c<a$。 故 $a>c>b$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的运算与比较大小

核心方法：设 $t=\lg \mathrm{e}$ 统一变元

避坑指南：三个数都是 $\lg \mathrm{e}$ 的”函数”，设 $t$ 后就是比较 $t$、$t^2$、$\frac{t}{2}$；需先确认 $t<\frac{1}{2}$（$\mathrm{e}<\sqrt{10}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比大小常用中间量与换元。

结论推广：$\lg \sqrt{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}\lg \mathrm{e}$；$\mathrm{e}\approx 2.718$ 给出 $\lg \mathrm{e}\approx 0.434$。

方法推广：“同源”式子设公共变元后化为熟悉的一次、二次比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-06 单-对数比较大小
• 2012-重庆卷文-07 单-对数的运算与比较
• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小