2009-天津卷文-03 单-充要条件判定

本题导读

考查充要条件。$x=1\Rightarrow x^3=x$ 充分；$x^3=x$ 的解为 $x=0,\pm 1$，不必要。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，则"$x=1$"是"$x^3=x$"的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x=1$ 时 $x^3=1=x$，充分。
2. $x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=0,\pm 1$，解集不止 $\{1\}$，不必要。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：$x=1$ 时 $x^3=1^3=1=x$，成立。 必要性：$x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=0$ 或 $x=\pm 1$，满足 $x^3=x$ 的 $x$ 不只有 $1$（如 $x=0$），故不必要。 所以"$x=1$"是"$x^3=x$"的充分而不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判定

核心方法：正推充分 + 解集反例否必要

避坑指南：$x^3=x$ 的解集是 $\{0,1,-1\}$ 而非 $\{1\}$，“小推大”充分、“大推小”必要，方向别搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件判定常以低次方程为载体。

结论推广：$x^3=x⟺x(x-1)(x+1)=0$。

方法推广：判断必要性时要找全解集，漏掉 $x=0$ 就会误判为充要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-05 单-充分必要条件
• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2012-天津卷文-05 单-充分必要条件