2009-天津卷文-10 单-导数构造恒成立

本题导读

压轴选择。构造 $g(x)=x^{2}f(x)$：$g^{\prime }(x)=x[2f(x)+x{f}^{\prime }(x)]>x^3$，$x>0$ 增、$x<0$ 减，$g(x)>g(0)=0$，得 $f(x)>0$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的导函数为 $f^{\prime }(x)$，且 $2f(x)+x{f}^{\prime }(x)>x^2$.下面的不等式在 $\mathbf{R}$ 内恒成立的是 ()

A. $f(x)>0$　　　　B. $f(x)<0$　　　　C. $f(x)>x$　　　　D. $f(x)<x$

🔍【思路分析】

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1. 令 $g(x)=x^{2}f(x)$，则 $g^{\prime }(x)=2xf(x)+x^2{f}^{\prime }(x)=x[2f(x)+x{f}^{\prime }(x)]$。
2. $x>0$ 时 $g^{\prime }(x)>x\cdot x^2=x^3>0$，$g$ 递增；$x<0$ 时 $g^{\prime }(x)<x^3<0$，$g$ 递减。
3. $x\ne 0$ 时 $g(x)>g(0)=0\Rightarrow x^{2}f(x)>0\Rightarrow f(x)>0$；又 $x=0$ 时 $2f(0)>0$。故 $f(x)>0$ 恒成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

构造 $g(x)=x^{2}f(x)$，则 $g^{\prime }(x)=2xf(x)+x^2{f}^{\prime }(x)=x\left[2f(x)+x{f}^{\prime }(x)\right].$ 由条件 $2f(x)+x{f}^{\prime }(x)>x^2$：

• 当 $x>0$ 时，$g^{\prime }(x)>x\cdot x^2=x^3>0$，$g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；
• 当 $x<0$ 时，$g^{\prime }(x)<x\cdot x^2=x^3<0$，$g(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减。 故对任意 $x\ne 0$，$g(x)>g(0)=0$，即 $x^{2}f(x)>0$，得 $f(x)>0$。 又在条件中令 $x=0$ 得 $2f(0)>0$，即 $f(0)>0$。 综上 $f(x)>0$ 在 $\mathbf{R}$ 内恒成立，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数构造函数与不等式恒成立

核心方法：构造 $x^{2}f(x)$ + 单调性

避坑指南：$x<0$ 时 $g^{\prime }(x)=x[\cdots ]>x^3$ 两边同乘负数要变号，得到的是 $g^{\prime }<0$ 而非 $g^{\prime }>x^3>0$，方向别推反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：构造辅助函数是导数选择压轴的通用钥匙。

结论推广：见 $2f+x{f}^{\prime }$ 即想 $(x^{2}f{)}^{\prime }=2xf+x^2{f}^{\prime }=x(2f+x{f}^{\prime })$。

方法推广：$g(0)=0$ 提供基准值；$f(0)>0$ 由条件中令 $x=0$ 单独补上，别漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.06 导数构造函数逆向还原专题
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2012-北京卷文-14 填-量词恒成立求范围