2009-山东卷文-10 单-抛物线焦点

本题导读

考查抛物线焦点。焦点 $\left(\frac{a}{4},0\right)$，$A\left(0,-\frac{a}{2}\right)$，面积 $\frac{a^2}{16}=4$ 得 $a=\pm 8$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 设斜率为 $2$ 的直线 $l$ 过抛物线 $y^2=ax$（$a\ne 0$）的焦点 $F$，且和 $y$ 轴交于点 $A$.若 $△OAF$（$O$ 为坐标原点）的面积为 $4$，则抛物线方程为 ()

A. $y^2=\pm 4x$　　　　　B. $y^2=\pm 8x$　　　　　C. $y^2=4x$　　　　　D. $y^2=8x$

🔍【思路分析】

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1. 焦点 $F\left(\frac{a}{4},0\right)$；过 $F$ 斜率为 $2$ 的直线 $y=2\left(x-\frac{a}{4}\right)$，交 $y$ 轴于 $A\left(0,-\frac{a}{2}\right)$。
2. $S_{△OAF}=\frac{1}{2}\cdot \frac{|a|}{4}\cdot \frac{|a|}{2}=\frac{a^2}{16}=4$，得 $a^2=64$，$a=\pm 8$。
3. 方程为 $y^2=\pm 8x$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=ax$ 的焦点为 $F\left(\frac{a}{4},0\right)$，过 $F$ 且斜率为 $2$ 的直线为 $y=2x-\frac{a}{2}$， 其与 $y$ 轴的交点为 $A\left(0,-\frac{a}{2}\right)$。 $△OAF$ 为直角三角形，$S=\frac{1}{2}\times \frac{|a|}{4}\times \frac{|a|}{2}=\frac{a^2}{16}$。 由 $S=4$ 得 $a^2=64$，$a=\pm 8$，抛物线方程为 $y^2=\pm 8x$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点与标准方程

核心方法：$y^2=ax$ 的焦点 $\left(\frac{a}{4},0\right)$；用面积列方程

避坑指南：直线 $y=2\left(x-\frac{a}{4}\right)$ 交 $y$ 轴于 $\left(0,-\frac{a}{2}\right)$；$S=\frac{1}{2}\times \frac{|a|}{4}\times \frac{|a|}{2}=\frac{a^2}{16}=4$ 得 $a=\pm 8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a$ 可正可负，焦点随之在正负半轴，方程写 $\pm 8x$ 才完整。

结论推广：$△OAF$ 是直角三角形，两条直角边就是 $|OF|$ 与 $|OA|$。

方法推广：验证：$a=8$ 时焦点 $(2,0)$，$a=-8$ 时焦点 $(-2,0)$，面积均为 $4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率
• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹