2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期

本题导读

考查降幂与性质。$y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin 2x$，最小正周期 $\pi$ 的奇函数，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 函数 $y=2{\cos }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1$ 是 ()

A. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数　　　　　B. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数

C. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数　　　　D. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂：$y=\cos \left[2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]=\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$。
2. 诱导公式：$\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin 2x$。
3. $\sin 2x$ 是奇函数，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

利用 $2{\cos }^{2}u-1=\cos 2u$，得 $y=\cos \left[2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]=\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin 2x$。 函数 $\sin 2x$ 是奇函数，且最小正周期为 $\pi$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂公式与三角函数性质

核心方法：$2{\cos }^{2}u-1=\cos 2u$，$y=\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin 2x$

避坑指南：诱导公式把”平移 $45^{\circ }$ 的余弦平方”化成正弦 $2x$；奇函数 + 周期 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$，两步都用诱导公式。

结论推广：周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，$\omega =2$ 别看成 $4$。

方法推广：奇偶性也可代点检验：$x=0$ 时 $y=\sin 0=0$ 且图象关于原点对称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2009-北京卷文-04 单-对数图象平移