2009-广东卷文-14 填-参数方程垂直

本题导读

考查坐标系与参数方程（选做）。参数式消参得斜率 $-\frac{3}{2}$，与 $4x+ky=1$ 垂直得 $k=-6$。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 【坐标系与参数方程】 若直线 $\{\begin{array}{l}x=1-2t,\\ y=2+3t,\end{array}$（$t$ 为参数）与直线 $4x+ky=1$ 垂直，则常数 $k=$　　　　.

🔍【思路分析】

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1. 参数式的方向向量为 ${\mathbf{v}}_1=(-2,3)$。
2. 直线 $4x+ky=1$ 的一个方向向量为 ${\mathbf{v}}_2=(k,-4)$。
3. 垂直：${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=-2k-12=0$，解得 $k=-6$。

✅【答案】

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

参数方程中的直线方向向量为 ${\mathbf{v}}_1=(-2,3)$。 直线 $4x+ky=1$ 的一个方向向量为 ${\mathbf{v}}_2=(k,-4)$。 两直线垂直，所以 ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=(-2)k+3\times (-4)=-2k-12=0$，解得 $k=-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与直线的垂直

核心方法：方向向量 $(a,b)$ 由参数式直接读；垂直 $⟺$ 方向向量数量积为零

避坑指南：$x=1-2t$，$y=2+3t$ 的方向向量是 $(-2,3)$（$t$ 的系数）；$4x+ky=1$ 的方向向量 $(k,-4)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程消参得 $3x+2y=7$，斜率 $-\frac{3}{2}$，与 $-\frac{4}{k}$ 满足 $k_1{k}_2=-1$ 亦可。

结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 的方向向量可取 $(B,-A)$ 或 $(-B,A)$。

方法推广：数量积为零列式时符号别错：$-2k-12=0$，不是 $2k-12=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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