2009-江西卷文-18 解-独立重复概率

本题导读

考查独立重复试验。(1) 三人均未获”支持”即三人各 $0$ 个支持，概率 ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}$；(2) 总额 $=5K$，$K$ 为 $6$ 次评审中支持次数，$K⩾4$ 的概率 $\frac{22}{64}=\frac{11}{32}$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为”支持”或”不支持”的概率都是 $\frac{1}{2}$.若某人获得两个”支持”，则给予 $10$ 万元的创业资助；若只获得一个”支持”，则给予 $5$ 万元的资助；若未获得”支持”，则不予资助.求：

(1) 该公司的资助总额为零的概率；

(2) 该公司的资助总额超过 $15$ 万元的概率.

🔍【思路分析】

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1. 每人获得”支持”的次数 $X\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right)$：$P(X=0)=\frac{1}{4}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$，$P(X=2)=\frac{1}{4}$。
2. (1) 资助总额为零须三人都是 $0$ 个支持，概率 ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}$。
3. (2) 记 $K$ 为六次评审中”支持”的总次数，$K\sim B\left(6,\frac{1}{2}\right)$，总额为 $5K$ 万元。
4. 总额超过 $15$ 万即 $K⩾4$：$P=\frac{{\mathrm{C}}_6^4+{\mathrm{C}}_6^5+{\mathrm{C}}_6^6}{64}=\frac{15+6+1}{64}=\frac{11}{32}$。

✅【答案】

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(1) 概率为 $\frac{1}{64}$；(2) 概率为 $\frac{11}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 每位大学生获得”支持”的次数 $X$ 服从二项分布 $B\left(2,\frac{1}{2}\right)$， 其中 $P(X=0)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。 资助总额为零，须三位大学生都未获得任何”支持”，三人的评审相互独立， 故所求概率为 ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}$。 (2) 记 $K$ 为六次评审中”支持”的总次数，六次评审相互独立且每次支持概率为 $\frac{1}{2}$， 故 $K\sim B\left(6,\frac{1}{2}\right)$，且资助总额为 $5K$ 万元。 总额超过 $15$ 万元即 $K⩾4$，故 $P(K⩾4)=\frac{{\mathrm{C}}_6^4+{\mathrm{C}}_6^5+{\mathrm{C}}_6^6}{2^6}=\frac{15+6+1}{64}=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与二项分布

核心方法：每人 $B(2,\frac{1}{2})$，总额化 $5K$

避坑指南：“未获得支持”是 $0$ 个支持（不是”没有两个支持”），概率 $\frac{1}{4}$；总额超 $15$ 万即 $K⩾4$，$K$ 为六次评审的支持总次数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：资助规则分段（0/1/2 个支持）时，先把文字翻译成随机变量的取值。

结论推广：$K\sim B(6,\frac{1}{2})$，$P(K⩾4)$ 用对称性或直接求和。

方法推广：${\mathrm{C}}_6^4+{\mathrm{C}}_6^5+{\mathrm{C}}_6^6=15+6+1=22$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

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• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
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