2009-浙江卷文-05 单-向量坐标运算

本题导读

考查向量坐标运算。$(c+a)\parallel b$ 与 $c\perp (a+b)$ 联立得 $c=\left(-\frac{7}{9},-\frac{7}{3}\right)$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 已知向量 $a=(1,2)$，$b=(2,-3)$.若向量 $c$ 满足 $(c+a)\parallel b$，$c\perp (a+b)$，则 $c=$ ()

🔍【思路分析】

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1. 设 $c=(m,n)$：$(c+a)\parallel b$ 给 $-3(m+1)=2(n+2)$。
2. $c\perp (a+b)$ 给 $3m-n=0$。
3. 解得 $m=-\frac{7}{9}$，$n=-\frac{7}{3}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $c=(m,n)$，则 $c+a=(m+1,n+2)$，$a+b=(3,-1)$。 由 $(c+a)\parallel b$：$-3(m+1)=2(n+2)$，即 $3m+2n=-7$。 由 $c\perp (a+b)$：$3m-n=0$，即 $n=3m$。 代入得 $3m+6m=-7$，$m=-\frac{7}{9}$，$n=-\frac{7}{3}$。 所以 $c=\left(-\frac{7}{9},-\frac{7}{3}\right)$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的坐标运算

核心方法：设参列两个独立方程

避坑指南：平行条件交叉相乘、垂直条件数量积为零，两条方程解 $m$、$n$；$(c+a)\parallel b$ 别误写成 $c\parallel b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量平行与垂直的坐标条件是向量小题的核心。

结论推广：$(x_1,y_1)\parallel (x_2,y_2)⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$；垂直 $⟺$ 数量积为 $0$。

方法推广：求未知向量先设 $(m,n)$，把条件逐条翻译成方程再联立消元。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2011-福建卷文-13 填-向量数量积坐标运算
• 2011-辽宁卷文-03 单-向量垂直数量积求参