2009-湖北卷文-09 单-取整函数数列

本题导读

考查新定义数列。三数为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$1$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，公比为 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 的等比数列，但非等差，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 设 $x\in \mathbf{R}$，记不超过 $x$ 的最大整数为 $[x]$，令 $\{x\}=x-[x]$，则 $\left\{\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right\}$，$\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right]$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ()

A. 是等差数列但不是等比数列　B. 是等比数列但不是等差数列

C. 既是等差数列又是等比数列　D. 既不是等差数列也不是等比数列

🔍【思路分析】

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1. $1<\sqrt{5}<3$，故 $1<\frac{\sqrt{5}+1}{2}<2$，记 $\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，则 $[\phi ]=1$，$\{\phi \}=\phi -1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
2. 三数为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$1$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
3. 等差检验：首末两项之和 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\sqrt{5}\ne 2$，不是等差数列。
4. 等比检验：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times \frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{5-1}{4}=1$，且 $1\times \phi =\phi$，是公比 $\phi$ 的等比数列。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $2<\sqrt{5}<3$，得 $1<\frac{\sqrt{5}+1}{2}<2$，记 $\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，则 $[\phi ]=1$，$\{\phi \}=\phi -1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。 三数依次为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$1$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。 等差检验：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\sqrt{5}\ne 2\times 1$，不是等差数列； 等比检验：$\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\times \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)=\frac{(\sqrt{5}{)}^2-1}{4}=1=1^2$，即中间项的平方等于两端之积， 且三数均为正，故成等比数列（公比 $q=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：取整函数与等比数列

核心方法：先估 $\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}\in (1,2)$，得三数后判差、判比

避坑指南：$\{\phi \}=\phi -1$，$[\phi ]=1$；$1^2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 是等比的核验核心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含 $\sqrt{5}$ 的黄金比 $\phi$ 满足 ${\phi }^2=\phi +1$、${\phi }^{-1}=\phi -1$，两个恒等式都是现成工具。

结论推广：判等差看 $a_1+a_3=2a_2$；判等比看 $a_2^2=a_1{a}_3$（各项均正时才可直接开方说公比）。

方法推广：三数互异时”既是等差又是等比”必排除（常数列才可能），可秒排 C。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算
• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量