2009-福建卷文-09 单-线性规划区域面积

本题导读

考查线性规划。区域是以 $(0,1)$，$(1,0)$，$(1,a+1)$ 为顶点的三角形，面积 $\frac{a+1}{2}=2$，得 $a=3$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 在平面直角坐标系中，若不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y-1⩾0,\\ x-1⩽0,\\ ax-y+1⩾0\end{array}$（$a$ 为常数）所表示的平面区域的面积等于 $2$，则 $a$ 的值为 ()

A. $-5$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 前两条不等式给出 $y⩾1-x$ 与 $x⩽1$，第三条给出 $y⩽ax+1$。
2. 要使区域有有限的正面积，须 $a>-1$，此时三直线围出顶点 $(0,1)$，$(1,0)$，$(1,a+1)$ 的三角形。
3. 底边在 $x=1$ 上，长 $(a+1)-0=a+1$；顶点 $(0,1)$ 到 $x=1$ 的距离为 $1$。
4. 面积 $\frac{1}{2}(a+1)=2$，得 $a=3$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

直线 $x+y-1=0$ 与 $ax-y+1=0$ 都过点 $(0,1)$；$x+y-1=0$ 与 $x=1$ 交于 $(1,0)$；$ax-y+1=0$ 与 $x=1$ 交于 $(1,a+1)$。 当 $a>-1$ 时，区域是以 $(0,1)$，$(1,0)$，$(1,a+1)$ 为顶点的三角形，其面积为 $\frac{1}{2}\times (a+1)\times 1=\frac{a+1}{2}$。 由题意 $\frac{a+1}{2}=2$，得 $a=3$。 当 $a=-1$ 时区域退化，当 $a<-1$ 时区域向左无界，均不符合面积为 $2$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的平面区域

核心方法：三线围三角形，底乘高除二

避坑指南：两条动直线都过 $(0,1)$，区域是顶点 $(0,1)$，$(1,0)$，$(1,a+1)$ 的三角形，面积 $\frac{a+1}{2}$；$a⩽-1$ 时区域退化或无界，须先说明排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参线性规划先讨论参数对区域形状的影响。

结论推广：斜率与截距决定三角形”张口”方向，$a>-1$ 才能围出有限区域。

方法推广：面积等于 $2$ 的方程是 $\frac{a+1}{2}=2$，解出后要代回验证区域形状成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积
• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值
• 2009-新课标卷文-06 单-线性规划开区域
• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域