2009-辽宁卷文-17 解-等比数列求和

本题导读

考查等比数列。$S_1+S_2=2S_3$ 化简得 $q(2q+1)=0$，$q=-\frac{1}{2}$；由 $a_1(1-q^2)=3$ 得 $a_1=4$，$S_n=\frac{8}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $S_1$，$S_3$，$S_2$ 成等差数列.

(1)求 $\{a_n\}$ 的公比 $q$；

(2)若 $a_1-a_3=3$，求 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. $S_1=a_1$，$S_2=a_1(1+q)$，$S_3=a_1(1+q+q^2)$；成等差：$S_1+S_2=2S_3$。
2. 约去 $a_1$：$2+q=2(1+q+q^2)$，即 $q(2q+1)=0$，$q\ne 0$ 故 $q=-\frac{1}{2}$。
3. $a_1(1-q^2)=3\Rightarrow a_1\cdot \frac{3}{4}=3\Rightarrow a_1=4$。
4. $S_n=\frac{4\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1+\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$。

✅【答案】

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(1) $q=-\frac{1}{2}$；(2)$S_n=\frac{8}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设首项为 $a_1$（$a_1\ne 0$），公比为 $q$（$q\ne 0$）。则 $S_1=a_1$，$S_2=a_1(1+q)$，$S_3=a_1(1+q+q^2)$。 由 $S_1$，$S_3$，$S_2$ 成等差数列：$S_1+S_2=2S_3$，即 $a_1[1+(1+q)]=2a_1(1+q+q^2)$。 约去 $a_1$：$2+q=2+2q+2q^2$，即 $2q^2+q=0$，$q(2q+1)=0$。 由 $q\ne 0$ 得 $q=-\frac{1}{2}$。 （2）$a_1-a_3=a_1(1-q^2)=3$，代入 $q^2=\frac{1}{4}$：$a_1\cdot \frac{3}{4}=3$，$a_1=4$。 所以 $S_n=\frac{a_1\left[1-q^n\right]}{1-q}=\frac{4\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的前 n 项和与基本量

核心方法：成等差建立 $q$ 的方程 + 求和公式

避坑指南：$q\ne 0$ 是隐含前提：$q(2q+1)=0$ 的根 $0$ 必须舍去；$S_n$ 公式分母 $1-q=\frac{3}{2}$，最后 $\frac{4}{3/2}=\frac{8}{3}$ 别除反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_1,S_3,S_2$ 成等差是等比数列解答题常见入口。

结论推广：$S_2=a_1(1+q)$，$S_3=a_1(1+q+q^2)$，均按定义展开。

方法推广：第（2）问用 $a_1-a_3=a_1(1-q^2)$ 直接联系首项与公比，不必算 $a_2$。

🔗【关联脉络】

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