2009-陕西卷文-17 解-三角解析式与最值

本题导读

考查三角解析式与最值。（1）$\omega =2$，$A=2$，$\phi =\frac{\pi }{6}$，$f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；（2）$t\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 上递增，最小值 $1$，最大值 $\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$，$x\in \mathbf{R}$（其中 $A>0$，$\omega >0$，$0<\phi <\frac{\pi }{2}$）的周期为 $\pi$，且图象上一个最低点为 $M\left(\frac{2\pi }{3},-2\right)$.

(1)求 $f(x)$ 的解析式；

(2)当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{12}\right]$ 时，求 $f(x)$ 的最值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，$\omega =2$；最低点纵坐标 $-2$ 且 $A>0$，$A=2$。
2. $\sin \left(\frac{4\pi }{3}+\phi \right)=-1$，$\frac{4\pi }{3}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$。
3. 结合 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，$k=0$，$\phi =\frac{\pi }{6}$。 4.（2）$t=2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$，$\sin t$ 递增。
4. 最小值 $2\sin \frac{\pi }{6}=1$，最大值 $2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；(2)最小值 $1$，最大值 $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由函数的周期为 $\pi$，得 $\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，所以 $\omega =2$。 又因 $M$ 是最低点且 $A>0$，有 $A=2$，并且 $\sin \left(\frac{4\pi }{3}+\phi \right)=-1$。 因此 $\frac{4\pi }{3}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，$k\in \mathbf{Z}$。 结合 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，得 $k=0$，从而 $\phi =\frac{\pi }{6}$。故 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$ （2）令 $t=2x+\frac{\pi }{6}$，当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{12}\right]$ 时，$t\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$。 因为正弦函数在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递增， 所以 $f(x)$ 的最小值为 $2\sin \frac{\pi }{6}=1$，最大值为 $2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由图象特征确定三角函数解析式并求闭区间最值

核心方法：周期定 $\omega$、最低点定 $A$ 与 $\phi$，换元后用单调性求最值

避坑指南：限制 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$ 决定 $k=0$，求出 $\phi$ 后必须回代检验；闭区间最值先求相位 $t$ 的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：五点法中最低点对应相位 $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$。

结论推广：闭区间最值问题的通法：换元 $t=\omega x+\phi$，求 $t$ 的范围，再看 $\sin t$ 的单调性。

方法推广：单调区间内最值在端点取得，含极值点时须比较端点与极值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调
• 2009-北京卷文-09 填-同角三角求值
• 2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移
• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期