2010-上海卷文-04 填-共轭复数运算

本题导读

考查共轭复数。$z\cdot \bar{z}+z=|z{|}^2+z=5+1-2\mathrm{i}=6-2\mathrm{i}$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 若复数 $z=1-2\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $z\cdot \bar{z}+z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\bar{z}=1+2\mathrm{i}$。
2. $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=1+4=5$。
3. $z\cdot \bar{z}+z=5+(1-2\mathrm{i})=6-2\mathrm{i}$。

✅【答案】

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$6-2\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

$\bar{z}=1+2\mathrm{i}$， $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=1^2+(-2{)}^2=5,$ 故 $z\cdot \bar{z}+z=5+1-2\mathrm{i}=6-2\mathrm{i}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共轭复数与模

核心方法：$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 整体代入

避坑指南：看清是 $z\cdot \bar{z}+z$ 而非 $z\cdot z+z$：原卷 PDF 文本层会丢共轭横线，若按 $z^2+z$ 算得 $-2-6\mathrm{i}$，与官方答案 $6-2\mathrm{i}$ 不符，以共轭为准。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 是复数运算中使用频率最高的恒等式。

结论推广：复数加减乘除的结果都要整理成 $a+b\mathrm{i}$ 的标准形式。

方法推广：含共轭的运算先算 $|z{|}^2$ 再加减，避免逐项展开出错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2012-江西卷文-01 单-共轭复数与复数运算
• 2012-湖南卷文-02 单-共轭复数
• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围