2010-北京卷文-14 填-正方形滚动周期与面积

本题导读

考查滚动中的周期与面积。$P$ 的轨迹每滚动一周平移 $4$ 个单位，周期为 $4$；面积 $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+1+\frac{\pi }{2}=\pi +1$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 如图放置的边长为 $1$ 的正方形 $PABC$ 沿 $x$ 轴滚动.设顶点 $P(x,y)$ 的纵坐标与横坐标的函数关系是 $y=f(x)$，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\underline{}$；$y=f(x)$ 在其两个相邻零点间的图象与 $x$ 轴所围区域的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始 $P(0,0)$，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(0,1)$。
2. 绕 $A$ 转 $90^{\circ }$：$P$ 沿半径 $1$ 的弧到 $(1,1)$；绕 $B(2,0)$ 转 $90^{\circ }$：$P$ 沿半径 $\sqrt{2}$ 的弧到 $(3,1)$；绕 $C(3,0)$ 转 $90^{\circ }$：$P$ 沿半径 $1$ 的弧到 $(4,0)$。
3. 此时正方形整体平移了 $4$ 个单位，轨迹重复，周期 $T=4$。
4. 面积 $=$ 两个半径 $1$ 的四分之一圆 $+$ 两个直角三角形 $+$ 半径 $\sqrt{2}$ 的四分之一圆 $=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+1+\frac{\pi }{2}=\pi +1$。

✅【答案】

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最小正周期为 $4$；面积为 $\pi +1$

✍【详细解析】

Abstract

设初始位置 $P(0,0)$，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(0,1)$。 正方形沿 $x$ 轴正方向滚动，顶点 $P$ 的轨迹分三段： ①以 $A(1,0)$ 为中心、半径 $PA=1$ 顺时针旋转 $90^{\circ }$，$P$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$； ②以 $B$ 的新位置 $(2,0)$ 为中心、半径 $BP=\sqrt{2}$ 旋转 $90^{\circ }$，$P$ 从 $(1,1)$ 到 $(3,1)$； ③以 $C$ 的新位置 $(3,0)$ 为中心、半径 $CP=1$ 旋转 $90^{\circ }$，$P$ 从 $(3,1)$ 落到 $(4,0)$。 此后正方形的位置恰为初始位置向右平移 $4$ 个单位，轨迹开始重复， 故 $f(x)$ 的最小正周期为 $4$。 在相邻两个零点 $x=0$ 与 $x=4$ 之间，图象与 $x$ 轴围成的区域由： 两个半径为 $1$ 的四分之一圆（面积各 $\frac{\pi }{4}$）、 两个直角边为 $1$ 的等腰直角三角形（面积各 $\frac{1}{2}$）、 一个半径为 $\sqrt{2}$ 的四分之一圆（面积 $\frac{\pi (\sqrt{2}{)}^2}{4}=\frac{\pi }{2}$）组成， 故面积为 $S=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}+2\times \frac{1}{2}+\frac{\pi }{2}=\pi +1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：滚动多边形上点的轨迹

核心方法：逐次绕落地点旋转 $90^{\circ }$，分段画出 $P$ 的圆弧轨迹

避坑指南：三次旋转的旋转中心依次为 $A,B,C$ 的”新位置”，半径依次为 $1,\sqrt{2},1$；把半径都当成 $1$ 或漏算中间一段都会错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：滚动一周正方形平移 $4$ 个边长，轨迹平移重复，周期为 $4$。

结论推广：面积分解：两个 $\frac{1}{4}$ 小圆 $+$ 两个直角三角形 $+$ 一个 $\frac{1}{4}$ 大圆（半径 $\sqrt{2}$）。

方法推广：画轨迹时标注每次旋转的中心与半径，是防止混乱的唯一办法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2009-福建卷文-16 填-斐波那契报数周期
• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值