2010-四川卷文-11 单-基本不等式最值

本题导读

考查基本不等式。令 $x=\frac{b}{a}$、$u=a^2$：原式化为 $u+\frac{1}{ux(1-x)}⩾2\sqrt{\frac{1}{x(1-x)}}⩾4$，$x=\frac{1}{2}$、$u=2$ 时取等，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 设 $a>b>0$，则 $a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}$ 的最小值是()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 换元：令 $x=\frac{b}{a}$（$0<x<1$），$u=a^2$；则 $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}=\frac{1}{ux}+\frac{1}{u(1-x)}=\frac{1}{ux(1-x)}$。
2. $x(1-x)⩽\frac{1}{4}$，故 $\frac{1}{x(1-x)}⩾4$。
3. $u+\frac{1}{ux(1-x)}⩾2\sqrt{\frac{1}{x(1-x)}}⩾4$；检验 $x=\frac{1}{2}$、$u=2$ 时两次等号同时成立。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=\frac{b}{a}$，由 $a>b>0$ 知 $0<x<1$；再令 $u=a^2>0$. 此时 $\frac{1}{ab}=\frac{1}{ux},\frac{1}{a(a-b)}=\frac{1}{u(1-x)},$ 原式化为 $u+\frac{1}{ux}+\frac{1}{u(1-x)}=u+\frac{1}{ux(1-x)}.$ 由 $x(1-x)⩽\frac{1}{4}$，得 $\frac{1}{x(1-x)}⩾4$；又由基本不等式， $u+\frac{1}{ux(1-x)}⩾2\sqrt{\frac{1}{ux(1-x)}\cdot u}=2\sqrt{\frac{1}{x(1-x)}}⩾4.$ 当 $x=\frac{1}{2}$ 且 $u=2$，即 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$、$a^2=2$（此时 $a>b>0$ 成立）时，两次等号同时成立， 故原式的最小值为 $4$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式与换元

核心方法：令 $x=\frac{b}{a}$、$u=a^2$：原式 $=u+\frac{1}{ux(1-x)}⩾2\sqrt{\frac{1}{x(1-x)}}⩾4$

避坑指南：三次结构先换元降维；$\frac{1}{ux}+\frac{1}{u(1-x)}$ 通分后分母是 $ux(1-x)$；两次放缩的取等条件要同时满足：$x=\frac{1}{2}$ 且 $u=2$，缺一不可，取等验证是最后一道工序。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多元分式最值通过换元与均值不等式联用，是基本不等式板块的能力题，苏、津等地卷有同型。

结论推广：$x(1-x)⩽\frac{1}{4}$（$0<x<1$）；$u+\frac{v}{u}⩾2\sqrt{v}$（$u>0$）。

方法推广：结构相同的分式先通分合并，再逐层放缩；最后必须回验取等条件是否同时成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

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• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值
• 2009-江苏卷-19 解-满意度与基本不等式