2010-大纲卷I文-14 填-二倍角正切

本题导读

考查二倍角。$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$，$\tan 2\alpha =\frac{-3/2}{1-9/16}=-\frac{24}{7}$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知 $\alpha$ 为第二象限的角，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，则 $\tan 2\alpha =$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第二象限：$\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$。
2. $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$。
3. $\tan 2\alpha =\frac{2\times (-3/4)}{1-9/16}=\frac{-3/2}{7/16}=-\frac{24}{7}$。

✅【答案】

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$-\frac{24}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 是第二象限角，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$， 所以 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{4}{5}$，$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$。 由二倍角公式， $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=-\frac{24}{7}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角关系与二倍角正切

核心方法：象限定 $\cos \alpha$ 符号，$\tan \alpha \to \tan 2\alpha$ 公式直连

避坑指南：第二象限余弦为负：$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$；若取正，$\tan 2\alpha$ 得 $\frac{24}{7}$ 符号全反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$，已知 $\tan \alpha$ 时最快。

结论推广：$3$、$4$、$5$ 勾股数对应的三角值要敏感：$\sin =\frac{3}{5}$ 则 $|\cos |=\frac{4}{5}$。

方法推广：象限符号是三角求值的第一道关卡。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-04 单-正切和角公式
• 2011-江苏卷-07 填-正切和角与二倍角
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号
• 2009-北京卷文-15 解-二倍角最值