2010-大纲卷II文-09 单-分组分配计数

本题导读

考查分组分配。$3\times {\mathrm{C}}_4^2=3\times 6=18$ 种，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 将标号为 $1,2,3,4,5,6$ 的 $6$ 张卡片放入 $3$ 个不同的信封中，若每个信封放 $2$ 张，其中标号为 $1,2$ 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()

A. $12$ 种　　　　　B. $18$ 种　　　　　C. $36$ 种　　　　　D. $54$ 种

🔍【思路分析】

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1. 卡片 $1,2$ 作为一个整体，选放入的信封：$3$ 种。
2. 余下 $4$ 张放入另 $2$ 个不同信封各 $2$ 张：${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。
3. 共 $3\times 6=18$ 种。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

把标号 $1,2$ 的卡片视为一组，先从 $3$ 个信封中选 $1$ 个放它们，有 $3$ 种选法。 剩下 $4$ 张卡片放入其余 $2$ 个不同的信封，每个信封 $2$ 张： 先为其中一个信封选 $2$ 张，有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种，余下 $2$ 张入另一个信封。 由分步乘法计数原理，共有 $3\times {\mathrm{C}}_4^2=3\times 6=18\text{（种）}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分组分配的组合计数

核心方法：“捆绑” $\{1,2\}$ 选信封，余下 $4$ 张 ${\mathrm{C}}_4^2$ 分配

避坑指南：余下 $4$ 张放入 $2$ 个不同信封各 $2$ 张是 ${\mathrm{C}}_4^2=6$（信封有别，选完一个另一个即定），不要再乘 ${\mathrm{C}}_2^2$ 或除以 $2!$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：有特殊约束的元素先处理：”$1,2$ 同信封”先把它们绑成一组。

结论推广：分组问题看清”组有无名称”：有名称（信封不同）直接分步，无名称才除以重复度。

方法推广：验证：无约束时 ${\mathrm{C}}_6^2{\mathrm{C}}_4^2=90$，$\{1,2\}$ 同组占 $\frac{1}{5}$？本题 $18$ 与 $\frac{90}{5}$ 吻合（三种信封位置平均）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-07 单-组合计数
• 2013-大纲卷文-14 填-分组计数
• 2011-大纲卷文-09 单-计数原理选课
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数