2010-天津卷文-16 填-恒成立求参

本题导读

考查恒成立。$m>0$ 时左式随 $x$ 趋于无穷不可能恒负；$m<0$ 时需 $m^2-1>0$，得 $m<-1$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}$，对任意 $x\in [1,+\infty )$，$f(mx)+mf(x)<0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $f(mx)+mf(x)=2mx-\frac{1+m^2}{mx}=\frac{2m^2{x}^2-(1+m^2)}{mx}$。
2. $m>0$：$x\to +\infty$ 时分子为正且 $mx>0$，不等式不能恒成立。
3. $m<0$：$mx<0$，等价于 $2m^2{x}^2-(1+m^2)>0$ 对 $x⩾1$ 恒成立。
4. 左端在 $x⩾1$ 上的最小值为 $x=1$ 处的 $m^2-1$，令 $m^2-1>0$，结合 $m<0$ 得 $m<-1$。

✅【答案】

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$m<-1$

✍【详细解析】

Abstract

计算： $f(mx)+mf(x)=mx-\frac{1}{mx}+m\left(x-\frac{1}{x}\right)=2mx-\frac{1+m^2}{mx}=\frac{2m^2{x}^2-(1+m^2)}{mx}.$ $m=0$ 时不等式化为 $-\frac{1}{0}$ 无意义（且 $f(mx)$ 在 $x=1$ 处为 $0$ 不满足），舍去。 若 $m>0$：当 $x\to +\infty$ 时，$2m^2{x}^2-(1+m^2)>0$ 且 $mx>0$，左式为正，不能恒小于 $0$，不符合。 若 $m<0$：$mx<0$，原不等式等价于 $2m^2{x}^2-(1+m^2)>0(x⩾1).$ 左端关于 $x^2$ 单调递增，在 $x⩾1$ 上的最小值在 $x=1$ 处取得： $2m^2-(1+m^2)=m^2-1>0,$ 得 $m>1$ 或 $m<-1$，结合 $m<0$，故 $m<-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式恒成立求参数范围

核心方法：通分化简后按 $m$ 的符号分类，$m<0$ 时转化为二次式恒正

避坑指南：两边乘 $mx$ 时必须按 $m$ 的符号决定不等号方向，$m>0$ 的情形要靠 $x\to +\infty$ 的趋势排除；漏掉 $m=0$ 无意义的说明不扣分但讨论 $m>0$ 不可少。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒成立问题的基本转化：$f(x)<0$ 恒成立 $⟺f(x{)}_{\max }<0$。

结论推广：含参不等式先尝试参变分离，分离不了再分类讨论。

方法推广：端点 $x=1$ 处的取值往往就是临界条件，优先检验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2009-天津卷文-16 填-二次不等式整数解
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