2010-安徽卷文-16 解-面积数量积与余弦定理

本题导读

考查面积与数量积。$\sin A=\frac{5}{13}$，$bc=156$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=144$；$b=12$，$c=13$，$a=5$。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） △$ABC$ 的面积是 $30$，内角 $A$，$B$，$C$ 所对边长分别为 $a$，$b$，$c$，$\cos A=\frac{12}{13}$.

(1) 求 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$；

(2) 若 $c-b=1$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos A=\frac{12}{13}$ 且 $0<A<\pi$，$\sin A=\frac{5}{13}$。
2. $30=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\times \frac{5}{13}$，得 $bc=156$。
3. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=156\times \frac{12}{13}=144$。
4. $c=b+1$，$b(b+1)=156$，$b=12$，$c=13$。
5. 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=144+169-288=25$，$a=5$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $144$

(2) $a=5$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $0<A<\pi$ 及 $\cos A=\frac{12}{13}$，得 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{5}{13}$. 由三角形面积公式， $30=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\times \frac{5}{13},$ 所以 $bc=156$. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A=bc\cos A=156\times \frac{12}{13}=144.$ (2) 由 $c-b=1$，得 $c=b+1$. 结合 $bc=156$，有 $b(b+1)=156$，即 $b^2+b-156=0$， $(b+13)(b-12)=0.$ 因为 $b>0$，故 $b=12$，从而 $c=13$. 由余弦定理， $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=144+169-2\times 156\times \frac{12}{13}=313-288=25.$ 因为 $a>0$，所以 $a=5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形面积、数量积与余弦定理

核心方法：面积公式定 $bc$，数量积定义直接套 $bc\cos A$；解二次方程定边后代余弦定理

避坑指南：$\sin A$ 由同角平方关系取正号（$0<A<\pi$）；$b^2+b-156=0$ 的因式分解 $(b+13)(b-12)$ 别写错符号；余弦定理代入时 $2bc\cos A=2\times 156\times \frac{12}{13}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：安徽卷解答题第 1 题的传统形态：向量数量积与解三角形交汇。

结论推广：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A$ 把数量积与面积公式统一在两边夹角上。

方法推广：已知 $bc$ 与 $c-b$ 求各边，本质是构造二次方程，注意边长取正根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量
• 2009-江西卷文-19 解-解三角形与向量