2010-新课标卷文-01 单-集合交集

本题导读

考查集合交运算。$A=[-2,2]$，$B=\{0,1,2,\cdots ,16\}$，$A\cap B=\{0,1,2\}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 已知集合 $A=\{x\mid |x|⩽2,x\in \mathbf{R}\}$，$B=\{x\mid \sqrt{x}⩽4,x\in \mathbf{Z}\}$，则 $A\cap B$ 为()

A. $(0,2)$　　　　　B. $[0,2]$　　　　　C. $\{0,2\}$　　　　　D. $\{0,1,2\}$

🔍【思路分析】

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1. $|x|⩽2⟺-2⩽x⩽2$，$A=[-2,2]$。
2. $\sqrt{x}⩽4$ 且 $x\in \mathbf{Z}$：$x=0,1,2,\cdots ,16$。
3. 交集为 $\{0,1,2\}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x|⩽2$，得 $A=[-2,2]$。 由 $\sqrt{x}⩽4$ 且 $x\in \mathbf{Z}$，得 $B=\{0,1,2,\cdots ,16\}$。 所以 $A\cap B=\{0,1,2\}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交运算与整数元素的列举

核心方法：分别化简两个集合，再取公共元素

避坑指南：$B$ 中 $x\in \mathbf{Z}$ 是整数条件，交集是离散点集 $\{0,1,2\}$，不是区间 $[0,2]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的代表元素决定集合的本质：$x\in \mathbf{Z}$ 与 $x\in \mathbf{R}$ 结果完全不同。

结论推广：$\sqrt{x}⩽4$ 隐含 $x⩾0$，与整数条件联立得有限集。

方法推广：先化简、再求交，最后核对选项的”形态”（区间还是点集）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

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