2010-江苏卷-12 填-拼凑法条件最值

本题导读

考查条件最值。$\frac{x^3}{y^4}=\frac{(x^2/y{)}^2}{x{y}^2}⩽\frac{9^2}{3}=27$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 设实数 $x$，$y$ 满足 $3⩽x{y}^2⩽8$，$4⩽\frac{x^2}{y}⩽9$，则 $\frac{x^3}{y^4}$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察：$x{y}^2>0$，$\frac{x^2}{y}>0$，故 $x>0,y>0$。
2. 拼凑：$\frac{x^3}{y^4}={\left(\frac{x^2}{y}\right)}^2\cdot \frac{1}{x{y}^2}$。
3. ${\left(\frac{x^2}{y}\right)}^2⩽81$，$\frac{1}{x{y}^2}⩽\frac{1}{3}$。
4. $\frac{x^3}{y^4}⩽\frac{81}{3}=27$（$x{y}^2=3,\frac{x^2}{y}=9$ 时取到，如 $x=3,y=1$）。

✅【答案】

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$27$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x{y}^2⩾3>0$ 与 $\frac{x^2}{y}⩾4>0$ 知 $x>0$，$y>0$。 将目标式用已知两式拼凑： $\frac{x^3}{y^4}=\frac{x^4}{y^2}\cdot \frac{1}{x{y}^2}={\left(\frac{x^2}{y}\right)}^2\cdot \frac{1}{x{y}^2}.$ 由 $4⩽\frac{x^2}{y}⩽9$ 得 ${\left(\frac{x^2}{y}\right)}^2⩽81$； 由 $3⩽x{y}^2$ 得 $\frac{1}{x{y}^2}⩽\frac{1}{3}$。 两式相乘（均为正数）： $\frac{x^3}{y^4}⩽81\times \frac{1}{3}=27.$ 当 $\frac{x^2}{y}=9$ 且 $x{y}^2=3$ 时（解得 $x=3$，$y=1$）取到等号， 故最大值为 $27$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：条件最值（拼凑法）

核心方法：目标式拆成两个已知式的组合

避坑指南：$\frac{x^3}{y^4}={\left(\frac{x^2}{y}\right)}^2\cdot \frac{1}{x{y}^2}$ 的拼凑是题眼；两因式必须同为正才能直接相乘放大（本题由条件知均为正）；取等条件要验证能同时成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多元条件最值先尝试用已知整体拼凑目标，避免换元硬算。

结论推广：设 $(x{y}^2{)}^m{\left(\frac{x^2}{y}\right)}^n=\frac{x^3}{y^4}$，列 $m+2n=3,2m-n=-4$ 解 $m,n$。

方法推广：取等条件 $x{y}^2=3,\frac{x^2}{y}=9$ 解出 $x=3,y=1$，存在性成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-10 填-基本不等式最值
• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2012-江苏卷-13 填-二次函数值域与解集