2010-湖北卷文-03 单-分段函数求值

本题导读

考查分段函数复合求值。$f\left(\frac{1}{9}\right)={\log }_3\frac{1}{9}=-2$，$f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\log }_{3}x,& x>0,\\ 2^x,& x⩽0,\end{array}$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{9}\right)\right)$ 等于()

A. $4$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $-4$　　　　　　　D. $-\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{1}{9}>0$，用第一段：$f\left(\frac{1}{9}\right)={\log }_3\frac{1}{9}={\log }_3{3}^{-2}=-2$。
2. $-2⩽0$，用第二段：$f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}$。
3. 故 $f\left(f\left(\frac{1}{9}\right)\right)=\frac{1}{4}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{1}{9}>0$，所以先用第一段解析式： $f\left(\frac{1}{9}\right)={\log }_3\frac{1}{9}={\log }_3{3}^{-2}=-2.$ 又 $-2⩽0$，所以用第二段解析式： $f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}.$ 故 $f\left(f\left(\frac{1}{9}\right)\right)=\frac{1}{4}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数求值

核心方法：先判断 $1/9$ 落在 $x>0$ 段求 $f(1/9)=-2$，再求 $f(-2)$

避坑指南：$f(1/9)={\log }_3(1/9)=-2$，$f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；分段函数要”按段取值”，先判断自变量落在哪一段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数求值的核心是”对号入座”。

结论推广：先看自变量落在哪一段，套该段解析式；再求复合值时由内到外逐层计算。

方法推广：分段点处要检查是否重合；复合求值时内层结果作为外层的新自变量重新分段判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-07 单-分段函数递推
• 2011-福建卷文-08 单-分段函数方程
• 2012-江西卷文-03 单-分段函数复合求值
• 2011-江苏卷-11 填-分段函数求参数