2010-湖北卷文-06 单-分步计数原理

本题导读

考查分步计数。6 名同学每人有 5 种选法，相互独立，分步相乘得 $5^6$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()

A. $5^6$　　　　　B. $6^5$　　　　　C. $\frac{5\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2}{2}$　　　　　D. $6\times 5\times 4\times 3\times 2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 完整事件：“6 名同学每人都选定 1 个讲座”。
2. 以同学为步骤：第 1 名同学 5 种选法，第 2 名 5 种，……第 6 名 5 种。
3. 分步乘法：共 $5\times 5\times \cdots \times 5=5^6$ 种。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

每名同学都有 5 个讲座可供选择，且 6 名同学的选择相互独立. 以”每名同学选定讲座”为一个步骤，共 6 个步骤，每个步骤都有 5 种方法. 由分步乘法计数原理，不同选法的种数为 $5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5=5^6.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步计数原理

核心方法：由乘法原理得 $5^6$ 种

避坑指南：每封信有 $5$ 个邮箱可选，$6$ 封信互相独立，由分步乘法计数原理得 $5\times 5\times \cdots \times 5=5^6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分步计数原理用于”每一步都有多种选择”的乘法情形。

结论推广：完成一件事分 $k$ 步，第 $i$ 步有 $n_i$ 种方法，则总方法数为 $n_1{n}_2\cdots n_k$。

方法推广：分步用乘法、分类用加法；每封信独立投放是典型的分步问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数
• 2011-大纲卷文-09 单-计数原理选课
• 2013-山东卷理-10 单-分类加法与分步乘法计数原理
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数