2010-湖北卷文-18 解-线面垂直与线面角

本题导读

考查空间向量与二面角。$O(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\cdots \right)$：$B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$C(0,0,1)$；$\overrightarrow{PQ}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2}\right)$ 与 $\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$ 垂直；两面法向量夹角余弦 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 如图，在四面体 $ABOC$ 中，$OC\perp OA$，$OC\perp OB$，$\angle AOB=120^{\circ }$，且 $OA=OB=OC=1$.

(1) 设 $P$ 为 $AC$ 的中点，$Q$ 在 $AB$ 上且 $AB=3AQ$，证明：$PQ\perp OA$；

(2) 求二面角 $O-AC-B$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴，$OC$ 为 $z$ 轴，$B$ 在 $xOy$ 面内：$A(1,0,0)$，$B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$C(0,0,1)$。
2. $P$ 为 $AC$ 中点：$P\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$；$Q=A+\frac{1}{3}(B-A)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},0\right)$。
3. $\overrightarrow{PQ}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$，点积 $=0$，故 $PQ\perp OA$。
4. (2) 面 $OAC$ 即 $xOz$ 面，法向量 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$；$\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$，叉积 ${\mathbf{n}}_2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
5. $\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{3/2}{\sqrt{15}/2}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{15}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系：$OA$ 所在直线为 $x$ 轴，$OC$ 所在直线为 $z$ 轴，$B$ 位于 $xOy$ 面内，则 $O(0,0,0),A(1,0,0),B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),C(0,0,1).$ (1) $P$ 为 $AC$ 的中点，故 $P\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$；$Q$ 在 $AB$ 上且 $AB=3AQ$，即 $Q=A+\frac{1}{3}(B-A)$，故 $Q=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},0\right).$ 于是 $\overrightarrow{PQ}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2}\right),\overrightarrow{OA}=(1,0,0),$ 所以 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=0$. 因此 $PQ\perp OA$. (2) 平面 $OAC$ 即 $xOz$ 坐标面，其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$. 取 $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$，则平面 $ABC$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),|{\mathbf{n}}_2|=\frac{\sqrt{15}}{2}.$ 因此二面角 $O-AC-B$ 的平面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{3/2}{\sqrt{15}/2}=\frac{\sqrt{15}}{5}.$ 故二面角 $O-AC-B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与线面角

核心方法：由面面垂直找交线、证线面垂直，再用余弦或几何法求线面角

避坑指南：利用三垂线定理或坐标法证 $PO\perp$ 底面相关线，再求直线与平面所成角，余弦值 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角的求法：找射影，用 $\cos \theta$ 或 $\sin \theta$ 度量。

结论推广：线面角 $\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{d}{l}$（$d$ 为线上点到面的距离）；或由方向向量与法向量求。

方法推广：先证垂直关系再求角；线面角是线与它在面内射影所成的锐角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2012-四川卷文-19 解-线面角与二面角
• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角