2010-湖南卷文-04 单-极坐标与参数方程

本题导读

考查极坐标与参数方程。$\rho =\cos \theta$ 两边乘 $\rho$ 得 $x^2+y^2=x$，是圆；$x=-1-t,y=2+t$ 消去 $t$ 得 $x+y=1$，是直线，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 极坐标 $\rho =\cos \theta$ 和参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-1-t,\\ y=2+t\end{array}$（$t$ 为参数）所表示的图形分别是()

A. 直线、直线　　　B. 直线、圆　　　C. 圆、圆　　　D. 圆、直线

🔍【思路分析】

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1. 极坐标方程：$\rho =\cos \theta$ 含 $\cos \theta$，两边同乘 $\rho$ 转化为直角坐标。
2. 参数方程：两式相加即可消去参数 $t$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\rho =\cos \theta$，两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=\rho \cos \theta$，即 $x^2+y^2=x$，配方得 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$，表示圆. 由 $x=-1-t$，$y=2+t$，两式相加得 $x+y=1$，表示直线. 所以两方程所表示的图形分别是圆、直线. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程与参数方程互化

核心方法：极坐标两边乘 $\rho$ 用 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \cos \theta =x$ 互化；参数方程两式加减消参

避坑指南：$\rho =\cos \theta$ 不能直接把 $\rho$ 换成 $\sqrt{x^2+y^2}$ 了事，要两边乘 $\rho$ 凑出 $\rho \cos \theta$；参数式 $x=-1-t,y=2+t$ 的 $t$ 系数互为相反，相加即消参。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标与参数方程互化是坐标系与参数方程专题的基本功。

结论推广：${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 三件套；消参优先用加减、代入。

方法推广：互化后必须认出图形（圆配方、直线化一般式），选项问的是”图形”而非方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2011-湖南卷文-09 填-参数方程交点