2010-湖南卷文-17 解-分层抽样与概率

本题导读

考查分层抽样与古典概型。比例 $\frac{x}{18}=\frac{2}{36}=\frac{y}{54}$ 得 $x=1,y=3$；从 $B,C$ 共 5 人选 2 人共 $C_5^2=10$ 种，都在 $C$ 的 $C_3^2=3$ 种，概率 $\frac{3}{10}$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 $A$，$B$，$C$ 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：

高校	相关人数	抽取人数
$A$	18	$x$
$B$	36	2
$C$	54	$y$

(1)求 $x$，$y$；

(2)若从高校 $B$，$C$ 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 $C$ 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分层抽样按同一比例抽取：$\frac{\text{抽取人数}}{\text{相关人数}}$ 各层相等。
2. 列举或组合数计算基本事件总数与目标事件数。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $x=1$，$y=3$

(2) $\frac{3}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由分层抽样的等比例原则， $\frac{x}{18}=\frac{2}{36}=\frac{y}{54},$ 解得 $x=1$，$y=3$. （2）记从高校 $B$ 抽取的 2 人为 $b_1,b_2$，从高校 $C$ 抽取的 3 人为 $c_1,c_2,c_3$. 从这 5 人中选 2 人的基本事件共 $C_5^2=10$ 种； 其中 2 人都来自高校 $C$ 的有 $(c_1,c_2)$，$(c_1,c_3)$，$(c_2,c_3)$ 共 $C_3^2=3$ 种. 故所求概率 $P=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：各层抽取比相等 $\frac{x}{18}=\frac{2}{36}=\frac{y}{54}$；概率 $=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$

避坑指南：分层比例从已知层（B 层）读出：每 18 人抽 1 人；第二问是”组合型”古典概型，分子分母都用组合数，别用排列数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样与古典概型组合，是统计概率大题的低门槛组合。

结论推广：抽样比 $k=\frac{\text{样本量}}{\text{总体量}}$ 各层一致；组合计数 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$。

方法推广：概率题先定样本空间（本题是”从 B、C 抽取的人”共 5 人，不含 A 层），再数目标事件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-20 解-分层抽样与概率
• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率
• 2009-天津卷文-18 解-分层抽样与古典概型
• 2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型