2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值

本题导读

本题考查两角和与差的三角公式，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=4\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-1$．

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：展开后用降幂与辅助角公式化 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$
2. 步骤2：再由 $2x+\frac{\pi }{6}$ 的范围求最值

✅【答案】

点击查看答案

(1) 最小正周期 $T=\pi$

(2) 最大值 $2$，最小值 $-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)=4\cos x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)-1=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x-1$

$=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

(2) $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]\Rightarrow 2x+\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$。

$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 在该区间上的最大值为 $1$（当 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{6}$），最小值为 $-\frac{1}{2}$（当 $2x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$，即 $x=-\frac{\pi }{6}$）。

故 $f(x)$ 的最大值为 $2\times 1=2$，最小值为 $2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和角公式展开；降幂公式与辅助角公式；闭区间上正弦函数的最值

核心方法：“积和混排”先展开、再降幂、后合一：$2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$ 是关键过渡

避坑指南：区间端点对应相位 $-\frac{\pi }{6}$ 与 $\frac{2\pi }{3}$：最大值在 $\frac{\pi }{2}$ 处取到（区间内部），最小值在左端点取到，别只看端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角化简求最值是解答题第一题的常客，与 2011-新课标卷文-11（三角函数图象性质）、2012-浙江卷文-06（三角函数图象变换）同族。

结论推广：推广：$f(x)=a\sin 2x+b\cos 2x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (2x+\phi )$，振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$；本题 $a=\sqrt{3},b=1$ 恰得 $2$。

方法推广：三角解答题：化简目标统一成 $A\sin (\omega x+\phi )$，再平移相位区间求最值；区间端点与对称轴都要检查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质
• 2012-浙江卷文-06 单-三角函数图象变换