2011-北京卷理-19 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 已知椭圆 $G:\frac{x^2}{4}+y^2=1$.过点 $(m,0)$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $A,B$ 两点.

(1) 求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率；

(2) 将 $|AB|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $|AB|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：从方程中找出 $a^2=4,b^2=1$，计算 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}$，即可得出焦点坐标与离心率 $e=\frac{c}{a}$。
2. 第(2)问：由切线条件确定 $m$ 的范围（$|m|⩾1$）；设切线 $l$ 的方程并利用点到直线的距离 $d=1$ 建立斜率 $k$ 与 $m$ 的关系，联立椭圆方程利用弦长公式表示 $|AB|$，换元后利用函数单调性或基本不等式求最大值。

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 由椭圆 $G:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 知： $a^2=4,b^2=1⟹c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}$ 所以，椭圆 $G$ 的焦点坐标为 $(-\sqrt{3},0)$ 和 $(\sqrt{3},0)$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

(2) 因为过点 $(m,0)$ 可作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线，所以 $|m|⩾1$。

① 当 $|m|=1$ 时： 点 $(m,0)$ 在圆上，切线 $l$ 的方程为 $x=1$ 或 $x=-1$。 以 $x=1$ 为例，代入椭圆方程得 $\frac{1}{4}+y^2=1⟹y^2=\frac{3}{4}⟹y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。 此时弦长 $|AB|=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

② 当 $|m|>1$ 时： 切线 $l$ 的斜率存在且不为 0，设切线 $l$ 方程为 $y=k(x-m)$，即 $kx-y-km=0$。 因为 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，由圆心到直线的距离等于半径得： $\frac{|-km|}{\sqrt{k^2+1}}=1⟹k^2{m}^2=k^2+1⟹k^2=\frac{1}{m^2-1}$

联立切线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x-m)\\ x^2+4y^2=4\end{array}⟹(1+4k^2)x^2-8k^{2}mx+4k^2{m}^2-4=0$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{8k^{2}m}{1+4k^2},x_1{x}_2=\frac{4k^2{m}^2-4}{1+4k^2}$

由弦长公式得： $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$ $|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac{64k^4{m}^2}{(1+4k^2{)}^2}-\frac{4(4k^2{m}^2-4)}{1+4k^2}}=\frac{2\sqrt{1+k^2}\sqrt{4+4k^2-k^2{m}^2}}{1+4k^2}$

将 $k^2=\frac{1}{m^2-1}$ 代入上式化简：

• $1+k^2=\frac{m^2}{m^2-1}$；
• $4+4k^2-k^2{m}^2=4+3k^2=4+\frac{3}{m^2-1}=\frac{4m^2-1}{m^2-1}$；
• $1+4k^2=1+\frac{4}{m^2-1}=\frac{m^2+3}{m^2-1}$。

代入得： $|AB|=\frac{2\cdot \frac{|m|}{\sqrt{m^2-1}}\cdot \frac{\sqrt{4m^2-1}}{\sqrt{m^2-1}}}{\frac{m^2+3}{m^2-1}}=\frac{2|m|\sqrt{4m^2-1}}{m^2+3}$

当 $|m|=1$ 时，上式为 $\frac{2\times 1\times \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\dots$（注：当 $|m|=1$ 时对应切线 $x=\pm 1$ 的弦长为 $\sqrt{3}$，若切线斜率不存在时，弦长同样符合实际计算，故统一写出）：

综合得 $|AB|$ 的函数解析式为： $f(m)=\frac{2|m|\sqrt{4m^2-1}}{m^2+3}(|m|⩾1)$ （当 $|m|=1$ 时，$f(1)=\sqrt{3}$，与竖直切线一致）。

求 $f(m)$ 的最大值： 令 $t=\sqrt{4m^2-1}$，因为 $|m|⩾1$，所以 $t⩾\sqrt{3}$。 则 $m^2=\frac{t^2+1}{4}$，代入得： $f(m)=\frac{2\sqrt{\frac{t^2+1}{4}}\cdot t}{\frac{t^2+1}{4}+3}=\frac{t\sqrt{t^2+1}}{\frac{t^2+13}{4}}=\frac{4t\sqrt{t^2+1}}{t^2+13}$

对式子平方： $[f(m){]}^2=\frac{16t^2(t^2+1)}{(t^2+13{)}^2}$ 令 $u=t^2⩾3$，则： $g(u)=\frac{16u(u+1)}{(u+13{)}^2}=\frac{16(u^2+u)}{u^2+26u+169}=\frac{16}{1+\frac{25u+169}{u^2+u}}=\frac{16}{1+\frac{25}{u+1}+\frac{144}{u(u+1)}}$ 或者变形为： $[f(m){]}^2=\frac{16(u^2+u)}{u^2+26u+169}$ 令 $u+13=k⩾16$，则 $u=k-13$： $[f(m){]}^2=\frac{16(k-13)(k-12)}{k^2}=16\left(1-\frac{25}{k}+\frac{156}{k^2}\right)$ 对二次函数 $156{\left(\frac{1}{k}\right)}^2-25\left(\frac{1}{k}\right)+1$ 求最值，顶点在 $\frac{1}{k}=\frac{25}{312}⟹k=\frac{312}{25}=12.48<16$。 所以在 $k⩾16$ 时，该式关于 $k$ 递增。 当 $k=16$（即 $u=3,t=\sqrt{3},|m|=1$）时取得最小值？

换个最值视角（求导或基本不等式）： 设 $y=\frac{u^2+u}{(u+13{)}^2}$（$u⩾3$）， 求导得 $y^{\prime }=\frac{(2u+1)(u+13{)}^2-(u^2+u)\cdot 2(u+13)}{(u+13{)}^4}=\frac{(2u+1)(u+13)-2(u^2+u)}{(u+13{)}^3}=\frac{25u+13}{(u+13{)}^3}>0$ 对 $u⩾3$ 恒成立！ 所以 $g(u)$ 在 $[3,+\infty )$ 上单调递增！

故当 $u\to +\infty$（即 $|m|\to +\infty$）时： ${\lim }_{u\to +\infty }[f(m){]}^2=16⟹{\lim }_{|m|\to +\infty }f(m)=4$ 由于 $g(u)<16$，所以 $f(m)<4$。 等等，在 $u\in [3,+\infty )$ 上单调递增，上界为 4，是否有最大值？ 检查切线与圆：当 $m\to \infty$ 时，切线接近平行于 $x$ 轴的切线 $y=\pm 1$。 当切线为 $y=1$ 或 $y=-1$ 时，切线交椭圆于顶点 $(0,\pm 1)$，此时弦长为 0。 看 $k^2=\frac{1}{m^2-1}$：当 $m\to \infty$ 时 $k\to 0$，切线为 $y=0$，交椭圆于 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$，弦长为 $4$！ 但当 $y=0$ 时，直线过原点，不与圆 $x^2+y^2=1$ 相切（圆半径为1）。 切线与圆相切，距离为1，故平行于 $x$ 轴的切线为 $y=\pm 1$（恰为椭圆短轴切线），交点为 $(0,1)$，弦长为 0。

重新核对 $g(u)$ 导数： 分子：$(2u+1)(u+13)-2(u^2+u)=2u^2+27u+13-2u^2-2u=25u+13>0$。 所以在 $u⩾3$ 上单调递增，故当 $u\to +\infty$ 时，取不到最大值？ 注意：$k^2=\frac{1}{m^2-1}$，当 $|m|\to +\infty$ 时，$k\to 0$。 切线方程为 $y=k(x-m)=kx-km$。 其中 $km=k\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\to 1$（当 $m>0$ 时）。 所以当 $m\to +\infty$ 时，切线方程趋近于 $y=-1$！ 切线 $y=-1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 相切于 $(0,-1)$，交点重合，弦长 $|AB|=0$。 这说明原式化简中，分子分母关系： $f(m)=\frac{2|m|\sqrt{4m^2-1}}{m^2+3}$，当 $m\to \infty$ 时，分子最高次为 $2|m|\cdot 2|m|=4m^2$，分母为 $m^2$，极限为 4。 但切线 $y=-1$ 的弦长为何是 0？ 因为切线 $y=kx-km$，其中 $km=\frac{m}{\sqrt{m^2-1}}\to 1$。 联立方程中，我们假设了切线交椭圆于两点，判别式 $\Delta >0$。 验证判别式： $\Delta =64k^4{m}^2-16(1+4k^2)(k^2{m}^2-1)=16[4k^4{m}^2-(k^2{m}^2-1+4k^4{m}^2-4k^2)]=16(1+4k^2-k^2{m}^2)=16\left(1+\frac{4}{m^2-1}-\frac{m^2}{m^2-1}\right)=16\cdot \frac{3-m^2+1}{m^2-1}=\frac{16(4-m^2)}{m^2-1}$。 要使切线与椭圆相交于两点，必须 $\Delta >0⟹4-m^2>0⟹1<|m|<2$！

（关键修正！） 因为 $A,B$ 是切线与椭圆的两个交点，所以判别式 $\Delta >0$，得出： $1⩽|m|⩽2$

当 $|m|=2$ 时，$\Delta =0$，切线与椭圆相切，弦长 $|AB|=0$。 因此 $u=4m^2-1$ 的取值范围是 $[3,15]$（因为 $1⩽|m|⩽2$）。

在 $u\in [3,15]$ 上，$g(u)=\frac{16(u^2+u)}{(u+13{)}^2}$ 单调递增！ 所以当 $u=15$（即 $|m|=\sqrt{15/4+1/4}=2$？不，$u=15⟹4m^2-1=15⟹m^2=4⟹|m|=2$）时，取最大值？ 当 $u=15$ 时，$g(15)=\frac{16(225+15)}{28^2}=\frac{16\times 240}{784}=\frac{3840}{784}=\frac{240}{49}$。 最大值 $f(m)=\sqrt{\frac{240}{49}}=\frac{4\sqrt{15}}{7}$？ 等等，当 $|m|=2$ 时 $\Delta =0$，弦长应该为 0，怎么会最大？ 重新算 $\Delta$： $\Delta =4+4k^2-k^2{m}^2=4+\frac{4}{m^2-1}-\frac{m^2}{m^2-1}=\frac{4m^2-4+4-m^2}{m^2-1}=\frac{3m^2}{m^2-1}>0$ 对任意 $|m|>1$ 恒成立！ 刚才分子算错：$4(m^2-1)+4-m^2=3m^2$！ 重新计算分子： $4+4k^2-k^2{m}^2=4+4\frac{1}{m^2-1}-\frac{m^2}{m^2-1}=\frac{4m^2-4+4-m^2}{m^2-1}=\frac{3m^2}{m^2-1}$。 所以： $|AB|=\frac{2\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac{3m^2}{m^2-1}}}{1+4k^2}=\frac{2\cdot \frac{|m|}{\sqrt{m^2-1}}\cdot \frac{\sqrt{3}|m|}{\sqrt{m^2-1}}}{\frac{m^2+3}{m^2-1}}=\frac{2\sqrt{3}{m}^2}{m^2+3}$

（极其精炼简洁的正确结果！） 当 $|m|=1$ 时，$\frac{2\sqrt{3}(1)}{1+3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，但竖直切线弦长为 $\sqrt{3}$。 这是因为斜率不存在时，切线为 $x=\pm 1$，代入得 $|AB|=\sqrt{3}$。 而当 $|m|>1$ 时，$|AB|=\frac{2\sqrt{3}{m}^2}{m^2+3}=\frac{2\sqrt{3}}{1+\frac{3}{m^2}}$。

由于 $|m|>1⟹m^2>1⟹0<\frac{3}{m^2}<3$， 所以： $\frac{2\sqrt{3}}{1+3}<|AB|<\frac{2\sqrt{3}}{1+0}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}<|AB|<2\sqrt{3}$

但注意点 $(m,0)$ 在椭圆外还是体内？ 椭圆长半轴为 2，所以当 $1⩽|m|⩽2$ 时，点 $(m,0)$ 在椭圆内部或边界上； 当 $|m|>2$ 时，点 $(m,0)$ 在椭圆外部。 无论 $m$ 取何值，只要 $|m|⩾1$，切线与椭圆均有两个交点（因为 $\Delta =\frac{3m^2}{m^2-1}>0$）。 当 $|m|\to +\infty$ 时，$|AB|\to 2\sqrt{3}$，但取不到 $2\sqrt{3}$。 等等，椭圆中最长的弦是长轴 $2a=4$，这里极限是 $2\sqrt{3}$。 因为当 $m\to \infty$ 时，切线趋近于 $y=\pm 1$（即平行于 $x$ 轴），交椭圆于 $(x,\pm 1)⟹x=0$，弦长应为 0？ 再检视切线方程 $y=k(x-m)$： 当 $m\to \infty$ 时，$k^2=\frac{1}{m^2-1}\to 0$。 但 $km=\frac{m}{\sqrt{m^2-1}}\to 1$。 所以切线方程趋近于 $y=0\cdot x-1⟹y=-1$！ 切线 $y=-1$ 与椭圆相切于 $(0,-1)$，弦长为 0。 为什么公式算出 $\frac{2\sqrt{3}{m}^2}{m^2+3}\to 2\sqrt{3}$？ 因为 $x_1,x_2$ 的韦达定理中，$1+4k^2\to 1$，$x_1+x_2=\frac{8k^{2}m}{1+4k^2}\to 0$。 $x_1{x}_2=\frac{4k^2{m}^2-4}{1+4k^2}\to \frac{4(1)-4}{1}=0$。 弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}\to 1\times 0=0$！ 问题出在之前的弦长代入： $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{1+4k^2}=\frac{\sqrt{\frac{16\cdot 3m^2}{m^2-1}}}{\frac{m^2+3}{m^2-1}}=\frac{4\sqrt{3}|m|\sqrt{m^2-1}}{m^2+3}$。 乘上 $\sqrt{1+k^2}=\frac{|m|}{\sqrt{m^2-1}}$，得： $|AB|=\frac{|m|}{\sqrt{m^2-1}}\cdot \frac{4\sqrt{3}|m|\sqrt{m^2-1}}{m^2+3}=\frac{4\sqrt{3}{m}^2}{m^2+3}$

对！系数是 4 不是 2！ 当 $m\to \infty$ 时，$|AB|\to 4\sqrt{3}$？不，当 $m\to \infty$ 时，切线为 $y=\pm 1$，与椭圆相切，弦长为 0。 为什么代数推导会错？ 因为 $y=k(x-m)$ 联立 $x^2+4y^2=4$ 得： $(1+4k^2)x^2-8k^{2}mx+4k^2{m}^2-4=0$。 判别式 $\Delta =64k^4{m}^2-16(1+4k^2)(k^2{m}^2-1)$ $=16[4k^4{m}^2-(k^2{m}^2-1+4k^4{m}^2-4k^2)]$ $=16(1+4k^2-k^2{m}^2)=16\left(1+\frac{4}{m^2-1}-\frac{m^2}{m^2-1}\right)=16\cdot \frac{4-m^2+3}{m^2-1}$？ 仔细看：$1+4k^2-k^2{m}^2=1+k^2(4-m^2)=1+\frac{4-m^2}{m^2-1}=\frac{m^2-1+4-m^2}{m^2-1}=\frac{3}{m^2-1}$！ 对！$\Delta =16\times \frac{3}{m^2-1}=\frac{48}{m^2-1}$！分子没有 $m^2$！ 所以 $\sqrt{\Delta }=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{m^2-1}}$。

代入 $|AB|$： $|AB|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta }}{1+4k^2}=\frac{|m|}{\sqrt{m^2-1}}\cdot \frac{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{m^2-1}}}{\frac{m^2+3}{m^2-1}}=\frac{4\sqrt{3}|m|}{m^2+3}$

这就是完全正确的表达式！

验证极限： 当 $m\to \infty$ 时，$|AB|=\frac{4\sqrt{3}|m|}{m^2+3}\to 0$，完全符合几何事实！ 当 $|m|=1$ 时，代入得 $\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$，与竖直切线的弦长完全吻合！

求最大值： $f(m)=\frac{4\sqrt{3}|m|}{m^2+3}=\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$ 由基本不等式，当 $|m|⩾1$ 时： $|m|+\frac{3}{|m|}⩾2\sqrt{|m|\cdot \frac{3}{|m|}}=2\sqrt{3}$ 当且仅当 $|m|=\frac{3}{|m|}⟹|m|=\sqrt{3}$ 时等号成立。 因为 $|m|=\sqrt{3}⩾1$ 满足条件， 所以 $f(m)$ 的最大值为： $\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$

完美闭环！

总结最终解析：

1. $f(m)=\frac{4\sqrt{3}|m|}{m^2+3}$ ($|m|⩾1$)；
2. 最大值为 2（当 $m=\pm \sqrt{3}$ 时）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的切线条件（$d=r$）、弦长公式、基本不等式求最值。
• 核心方法：
• 将切线表示为 $y=k(x-m)$，利用 $d=\frac{|km|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ 解出 $k^2=\frac{1}{m^2-1}$；
• 联立消元后用 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta }}{A}$ 化简为关于 $|m|$ 的函数；
• 利用 $a+\frac{b}{a}⩾2\sqrt{b}$ 求最值。
• 避坑指南：展开判别式 $\Delta$ 时极其容易算错，务必仔细化简 $1+4k^2-k^2{m}^2=\frac{3}{m^2-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高考解析几何“圆与椭圆综合”的压轴考题。
• 结论推广：当切线点在 $m=\pm \sqrt{3}$（即椭圆焦点）时，所截得的弦长达到最大值 2。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 2013-安徽卷文-06 单-圆的弦长
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质