2011-四川卷文-10 单-线性规划实际应用

本题导读

本题考查线性规划的实际应用，以及整数约束下的最值。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 某运输公司有 $12$ 名驾驶员和 $19$ 名工人，有 $8$ 辆载重量为 $10$ 吨的甲型卡车和 $7$ 辆载重量为 $6$ 吨的乙型卡车. 某天需运往 $A$ 地至少 $72$ 吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 $2$ 名工人，运送一次可得利润 $450$ 元；派用的每辆乙型卡车需配 $1$ 名工人，运送一次可得利润 $350$ 元，该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数，可得最大利润 $z=$ ()

A. $4650$ 元　　　B. $4700$ 元　　　C. $4900$ 元　　　D. $5000$ 元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：设甲、乙各派 $x$
2. 步骤2：$y$ 辆
3. 步骤3：列四条约束（卡车数、司机数、装卸工数、货量）
4. 步骤4：格点中比较 $z=450x+350y$

✅【答案】

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$4900$ 元。选 \textbf{C}

✍【详细解析】

Abstract

设派甲型卡车 $x$ 辆、乙型卡车 $y$ 辆，则 $\{\begin{array}{l}x\le 8，y\le 7，\\ x+y\le 12（驾驶员），\\ 2x+y\le 19（工人），\\ 10x+6y\ge 72（运量）。\end{array}$ 目标 $z=450x+350y$。运量条件即 $5x+3y\ge 36$。 可行域内的整点中比较： $(8,3)$：$z=3600+1050=4650$；$(7,5)$：$x+y=12$，$2x+y=19$ 恰取等，$z=3150+1750=4900$； $(6,6)$：$z=2700+2100=4800$；$(5,7)$：$z=2250+2450=4700$；$(4,7)$：$z=1800+2450=4250$。 沿直线 $2x+y=19$ 观察 $z=450x+350(19-2x)=-250x+6650$ 随 $x$ 增大而减小，故在该边上 $x$ 越小 $z$ 越大， 但 $x$ 减小后受 $5x+3y\ge 36$ 与 $x+y\le 12$ 限制：$x=5,y=7$ 时 $z=4700<4900$？逐一核对：$(7,5)$ 与 $(5,7)$ 之间无更优点，比较可知 $(7,5)$ 处 $z$ 最大。 故最大利润为 $4900$ 元。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性约束条件的建模（车辆、司机、工人、运量四类资源）；整数点最值。

核心方法：设元列约束 → 画可行域取整点 → 目标函数平移比较。

避坑指南：「12 名驾驶员」给出 $x+y\le 12$，这是最易漏的软约束——漏掉它会在 $(6,7)$ 处误得 $5150$ 元；另外车辆必须整辆派出，只能比较整点而非角点连续值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划应用题以真实资源约束为背景，2012 四川文 08、2013 湖北文 09（租车）与本题同型，均为整数可行点枚举。

结论推广：若货量要求提高至 $90$ 吨，$5x+3y\ge 45$ 与 $2x+y\le 19$ 联立后可行域缩小，最优解随之移动，约束的「紧」与「松」决定角点取舍。

方法推广：应用型线性规划按「资源各列一条不等式」清单化建模；求整点最值时沿最优边逐一枚举并检查每条约束，比单纯画图更稳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-08 单-线性规划最值
• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2013-湖北卷文-09 单-线性规划租车