2011-大纲卷文-02 单-反函数

本题导读

本题考查反函数的求法，以及反函数的定义域与原函数的值域对应。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 函数 $y=2\sqrt{x}(x⩾0)$ 的反函数为 ()

A. $y=\frac{x^2}{4}(x\in \mathrm{R})$　B. $y=\frac{x^2}{4}(x⩾0)$　C. $y=4x^2(x\in \mathrm{R})$　D. $y=4x^2(x⩾0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由 $y=2\sqrt{x}$ 反解 $x$
2. 步骤2：再把 $x$、$y$ 互换
3. 步骤3：定义域取原函数值域 $[0,+\infty )$

✅【答案】

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B$y=\frac{x^2}{4}(x⩾0)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=2\sqrt{x}$ 得 $\sqrt{x}=\frac{y}{2}$，即 $x=\frac{y^2}{4}$（$y⩾0$）。

互换 $x$、$y$ 得反函数 $y=\frac{x^2}{4}$，其定义域为原函数的值域 $[0,+\infty )$，即 $x⩾0$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法三步：反解、互换、定定义域

核心方法：反函数的定义域 = 原函数的值域：$y=2\sqrt{x}$ 的值域是 $[0,+\infty )$，故反函数必须限制 $x⩾0$

避坑指南：A 与 B 的差别只在定义域标注：漏写 $x⩾0$ 是本题最大陷阱；C、D 系数位置颠倒（$4x^2$ 而非 $x^2/4$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数题在全国大纲卷反复考查，与 2013 年大纲卷文第 6 题、2014 年大纲卷文第 5 题、2015 年新课标Ⅰ文第 12 题同族。

结论推广：推广：单调函数才有反函数；$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于 $y=x$ 对称；分段函数的反函数要分段反解。

方法推广：反函数小题：反解 → 互换 → 用原函数值域限定新定义域，三步固定流程，最后一步最易被忽略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-06 单-反函数
• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数