2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 设 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数，当 $0⩽x⩽1$ 时，$f(x)=2x(1-x)$，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：用周期 2 把 $-\frac{5}{2}$ 移入已知区间附近
2. 步骤2：再用奇函数翻转

✅【答案】

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A$f\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

周期为 2：$f\left(-\frac{5}{2}\right)=f\left(-\frac{5}{2}+2\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$。

奇函数：$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{1}{2}\right)$。

已知表达式：$f\left(\frac{1}{2}\right)=2\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

故 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{1}{2}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期性的移点作用；奇偶性把负半轴值翻转到正半轴

核心方法：先周期后奇偶：把自变量加减周期的整数倍移到 $[0,1]$ 附近，再用 $f(-x)=-f(x)$ 落入已知区间

避坑指南：移动方向选错会把点移出已知区间；奇函数在 $x=0$ 处 $f(0)=0$，不要把 $[0,1]$ 端点值当对称点误用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数 + 周期的复合求值与 2012-江苏卷-10（分段函数周期性）、2013-江西卷文-21（分段函数二阶周期点）同族。

结论推广：推广：若 $f$ 周期为 $T$ 且为奇（偶）函数，则 $f\left(\frac{T}{2}\right)=0$（奇）；$f\left(x+\frac{T}{2}\right)=f\left(x-\frac{T}{2}\right)$ 等对称结论可加速求值。

方法推广：周期奇函数求值：$x\to x+kT$ 落到 $[-T/2,T/2]$，再用奇偶性翻到 $[0,T/2]$ 代表达式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-10 填-分段函数周期性
• 2013-江西卷文-21 解-分段函数二阶周期点