2011-大纲卷文-12 单-球的截面

本题导读

本题考查球的截面圆，以及二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 已知平面 $\alpha$ 截一球面得圆 $M$，过圆心 $M$ 且与 $\alpha$ 成 $60^{\circ }$ 二面角的平面 $\beta$ 截该球面得圆 $N$．若该球面的半径为 $4$，圆 $M$ 的面积为 $4\pi$，则圆 $N$ 的面积为 ()

A. $7\pi$　　　　　　　B. $9\pi$　　　　　　　C. $11\pi$　　　　　　　D. $13\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：求 $OM=\sqrt{R^2-r^2}$
2. 步骤2：球心到平面 $\beta$ 的距离 $=OM\cos 60^{\circ }$
3. 步骤3：再勾股得圆 $N$ 半径

✅【答案】

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D圆 $N$ 的面积为 $13\pi$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $M$ 面积 $4\pi \Rightarrow$ 半径 $r=2$。球半径 $R=4$，球心 $O$ 在过 $M$ 垂直于 $\alpha$ 的直线上，$OM=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。

平面 $\beta$ 过 $M$ 且与 $\alpha$ 成 $60^{\circ }$ 二面角，$OM\perp \alpha$，故 $O$ 到 $\beta$ 的距离 $d=OM\cos 60^{\circ }=\sqrt{3}$。

圆 $N$ 半径 $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{16-3}=\sqrt{13}$，面积为 $13\pi$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球心到截面圆的距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}$；线面角与二面角的转化

核心方法：双截面模型：先定球心与两截面的相对位置，把”二面角 $60^{\circ }$“翻译成 $OM$ 与 $\beta$ 的夹角

避坑指南：$O$ 到 $\beta$ 的距离是 $OM\cos 60^{\circ }$ 而非 $OM\sin 60^{\circ }$：$OM\perp \alpha$，$OM$ 与 $\beta$ 所成线面角的余角才是二面角；用 $\sin 60^{\circ }$ 会得 $7\pi$ 误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球截面计算是立体几何高频小题，与 2012-新课标卷文-08（球的截面与体积）、2013-新课标I卷文-15（球截面与表面积）同族。

结论推广：推广：过 $M$ 的转动平面族中，圆 $N$ 半径介于 $r$ 与 $R$ 之间；二面角 $\theta$ 时 $d=OM\cos \theta$，$r_N^2=R^2-O{M}^2{\cos }^2\theta$。

方法推广：球截面题：画轴截面三角形，标出 $R$、$r$、$d$ 三量，二面角信息转化为 $d$ 与 $OM$ 的夹角关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-新课标I卷文-15 填-球截面与表面积