2011-天津卷文-02 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性规划求最值。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾1,\\ x+y-4⩽0,\\ x-3y+4⩽0,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x-y$ 的最大值为 ()

A. $-4$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：画可行域
2. 步骤2：平移直线 $3x-y=0$
3. 步骤3：在顶点处取最大值

✅【答案】

点击查看答案

D最大值为 $4$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界：$x=1$，$x+y=4$，$y=\frac{x+4}{3}$。可行域是以 $(1,\frac{5}{3})$、$(1,3)$、$(2,2)$ 为顶点的三角形区域。

$z=3x-y$ 在顶点处取值：$(1,\frac{5}{3})$ 处 $z=\frac{4}{3}$；$(1,3)$ 处 $z=0$；$(2,2)$ 处 $z=4$。

故最大值为 $4$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点代人与目标函数最值

核心方法：画边界、定区域、求顶点，顶点代入目标函数比较

避坑指南：约束 $x-3y+4⩽0$ 表示直线 $y=\frac{x+4}{3}$ 上方区域（含原点检验：$4⩽0$ 不成立，故不含原点一侧）；把方向画反会漏掉顶点 $(2,2)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值题与 2012-天津卷文-02、2011-大纲卷文-04、2012-大纲卷文-14 同族。

结论推广：推广：目标函数 $z=ax-by$（$a,b>0$）的最值必在可行域顶点处取得；顶点个数有限，逐一代入即可。

方法推广：线性规划小题：先画三条边界并逐条用特殊点定侧，再求交点、代入比较；截距 $z$ 对应直线族 $3x-y=z$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划
• 2012-大纲卷文-14 填-线性规划最值