2011-天津卷文-05 单-指对数比较大小

本题导读

本题考查对数的运算，以及利用单调性比较大小。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知 $a={\log }_{2}3.6$，$b={\log }_{4}3.2$，$c={\log }_{4}3.6$，则 ()

A. $a>b>c$　　　　　B. $a>c>b$　　　　　C. $b>a>c$　　　　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：统一底数：$c=\frac{1}{2}a$
2. 步骤2：同底比 $b$ 与 $c$
3. 步骤3：再比 $a$ 与 $c$

✅【答案】

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B$a>c>b$

✍【详细解析】

Abstract

由换底公式 $c={\log }_{4}3.6=\frac{{\log }_{2}3.6}{{\log }_{2}4}=\frac{a}{2}$。因 $a={\log }_{2}3.6>{\log }_{2}1=0$，故 $a>c$。

又 ${\log }_{4}3.2<{\log }_{4}3.6$，即 $b<c$。

故 $a>c>b$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换底公式；对数函数的单调性

核心方法：统一底数或统一真数：先把 ${\log }_4$ 化为 $\frac{1}{2}{\log }_2$，再在同底下比较

避坑指南：$a={\log }_{2}3.6$ 与 $c={\log }_{4}3.6$ 底不同真数相同，须换底后比较；直接看真数 $3.6>3.2$ 断言 $a>b$ 是错的（底不同）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比大小与 2012-天津卷文-04、2011-北京卷文-03、2012-大纲卷文-11 同族。

结论推广：推广：${\log }_{a^2}N=\frac{1}{2}{\log }_{a}N$（$a>0$，$a\ne 1$，$N>0$）；同底时真数大则对数大（底 $>1$）。

方法推广：对数比大小：优先换底统一，再借助与 $0$、$1$ 的关系分档，最后同档内比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-04 单-指对数比较大小
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较
• 2012-大纲卷文-11 单-指对数比大小