2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及抛物线的焦点与准线。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左顶点与抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点的距离为 $4$，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 $(-2,-1)$，则双曲线的焦距为 ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{5}$　　　　　　　C. $4\sqrt{3}$　　　　　　　D. $4\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由交点 $(-2,-1)$ 定准线 $x=-\frac{p}{2}$ 与渐近线斜率
2. 步骤2：由距离条件定 $a$

✅【答案】

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B焦距为 $2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$。渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 与准线交于 $(-2,-1)$，故 $-\frac{p}{2}=-2$，$p=4$；且 $-1=\frac{b}{a}\cdot (-2)$，得 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。

双曲线左顶点 $(-a,0)$ 到焦点 $(\frac{p}{2},0)=(2,0)$ 的距离为 $a+2=4$，故 $a=2$，$b=a\cdot \frac{1}{2}=1$。

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}$，焦距 $2c=2\sqrt{5}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的顶点、渐近线与焦距；抛物线的焦点与准线

核心方法：两条曲线的公共信息（交点坐标）分别翻译为 $p$ 与 $\frac{b}{a}$，再用距离条件定 $a$

避坑指南：渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 过 $(-2,-1)$ 得 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$ 而非 $2$（代入负横坐标要带符号）；“左顶点到抛物线焦点”的距离是 $a+\frac{p}{2}$，不要用 $c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与抛物线组合小题与 2012-山东卷文-11、2012-天津卷文-11、2011-北京卷文-10 同族。

结论推广：推广：左顶点 $(-a,0)$ 与抛物线 $y^2=2px$ 焦点 $(\frac{p}{2},0)$ 的距离为 $a+\frac{p}{2}$；渐近线过点 $(x_0,y_0)$ 即给出 $\frac{b}{a}=\frac{y_0}{x_0}$。

方法推广：圆锥曲线组合小题：把每个几何条件逐一翻译成方程，先解独立参数（如 $p$），再回代求其余。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-11 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2012-天津卷文-11 填-双曲线渐近线与焦点
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线