2011-山东卷文-04 单-导数切线截距

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 曲线 $y=x^3+11$ 在点 $P(1,12)$ 处的切线与 $y$ 轴交点的纵坐标是 ()

A. $-9$　　　　　　　B. $-3$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $15$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$f^{\prime }(1)=3$ 定斜率
2. 步骤2：写切线求 $y$ 轴截距

✅【答案】

点击查看答案

C纵坐标为 $9$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2$，$f^{\prime }(1)=3$。切线：$y-12=3(x-1)$，即 $y=3x+9$。

令 $x=0$ 得 $y=9$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与切线斜率；切线方程的截距

核心方法：求导代值定斜率，点斜式写切线，令 $x=0$ 读截距

避坑指南：切点是 $(1,12)$ 不是原点；截距是 $9$ 而非 $-9$（斜率为正、过点纵坐标 $12$，向左下降到 $9$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数切线题与 2012-新课标卷文-13、2013-江苏卷-09、2013-大纲卷文-10 同族。

结论推广：推广：$y=x^3+c$ 在 $x=1$ 处切线恒为 $y=3x+(c+8)$；纵截距随 $c$ 平移。

方法推广：切线小题：导数值即斜率，切点必须满足原曲线方程（本题直接给出），最后明确问的是哪个截距。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-13 填-导数切线方程
• 2013-江苏卷-09 填-切线方程
• 2013-大纲卷文-10 单-导数与切线