2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线

本题导读

本题考查圆与圆的位置关系（外切），以及直线与圆相切。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 设圆 $C$ 与圆 $x^2+(y-3{)}^2=1$ 外切，且与直线 $y=0$ 相切，则 $C$ 的圆心轨迹为 ()

A. 抛物线　　　　　B. 双曲线　　　　　C. 椭圆　　　　　D. 圆

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设圆心 $P(x,y)$、半径 $r=|y|$
2. 步骤2：外切条件 $|P{O}_1|=r+1$
3. 步骤3：平方化简后按 $y$ 的符号讨论

✅【答案】

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A抛物线

✍【详细解析】

Abstract

设圆心 $P(x,y)$，半径 $r$。圆 $C$ 与直线 $y=0$ 相切，故 $r=|y|$。

圆 $x^2+(y-3{)}^2=1$ 的圆心 $O_1(0,3)$，半径 $1$。外切条件：$|P{O}_1|=r+1=|y|+1$，即 $\sqrt{x^2+(y-3{)}^2}=|y|+1$。

两边平方：$x^2+y^2-6y+9=y^2+2|y|+1$，即 $x^2-8y+8=2|y|$。

当 $y⩾0$：$x^2-8y+8=2y$，即 $x^2=8y-8=8\left(y-1\right)$，$y⩾1$，为抛物线 $y=\frac{x^2}{8}+1$ 的主支。

当 $y<0$：$x^2-8y+8=-2y$，即 $x^2=6y-8<0$，无解（或由 $y=\frac{x^2+8}{6}>0$ 矛盾），舍去。

故圆心轨迹为抛物线，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两圆外切的距离条件；等轴转化；含绝对值的轨迹讨论；抛物线的识别

核心方法：“切直线定半径、外切定距离”，平方去绝对值后按 $y$ 符号分支，舍去矛盾支

避坑指南：平方前两边均非负可逆，但 $|y|$ 的分支不可省——$y<0$ 支并非多余，它能防止把”无解”当成”另一条抛物线”；识别曲线时把方程整理成 $x^2=8(y-1)$（顶点 $(0,1)$，开口向上），是标准抛物线而非双曲线一支。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的轨迹题与 2011-山东卷文-09、2013-江西卷文-14、2011-大纲卷文-11 同族。

结论推广：推广：与定直线相切且与定圆（圆心到直线距离等于 $2R_0$）外切的动圆圆心轨迹为抛物线——本题恰是抛物线定义”到定点与定直线距离相等”的变体（$|P{O}_1|=|y|+1=|y-0|+1$，即到 $O_1$ 与到直线 $y=-1$ 等距）。

方法推广：动圆轨迹题：半径由”切直线 / 切圆”翻译成坐标式，距离条件列方程，平方分支后必回头检验每支的符号范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-09 单-抛物线定义与圆
• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切
• 2011-大纲卷文-11 单-两圆相切韦达