2011-广东卷文-10 单-函数新定义运算

本题导读

本题考查新定义运算，以及函数的复合与乘积。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 设 $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的任意实值函数. 如下定义两个函数 $(f\circ g)(x)$ 和 $(f\bullet g)(x)$：对任意 $x\in \mathbf{R}$，$(f\circ g)(x)=f(g(x))$；$(f\bullet g)(x)=f(x)g(x)$，则下列等式恒成立的是 ()

A. $((f\circ g)\bullet h)(x)=((f\bullet h)\circ (g\bullet h))(x)$

B. $((f\bullet g)\circ h)(x)=((f\circ h)\bullet (g\circ h))(x)$

C. $((f\circ g)\circ h)(x)=((f\circ h)\circ (g\circ h))(x)$

D. $((f\bullet g)\bullet h)(x)=((f\bullet h)\bullet (g\bullet h))(x)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：按定义直接验证 B 项两边相等
2. 步骤2：对其余三项各构造一组反例

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

验证选项 B：左边 $((f\bullet g)\circ h)(x)=(f\bullet g)(h(x))=f(h(x))g(h(x))$。

右边 $((f\circ h)\bullet (g\circ h))(x)=f(h(x))g(h(x))$。两边恒等，B 成立。

其余三项均可举反例：

选项 A：取 $f(x)=x$，$g(x)=1$，$h(x)=2$。左边 $((f\circ g)\bullet h)(x)=(1)\times 2=2$；右边 $((f\bullet h)\circ (g\bullet h))(x)=(f\bullet h)(2)=2\times 2=4$，不成立。

选项 C：取 $f(x)=x$，$g(x)=x$，$h(x)=x+1$。左边 $(f\circ g\circ h)(x)=x+1$；右边 $((f\circ h)\circ (g\circ h))(x)=(g\circ h)(f(h(x)))=h(f(x+1))=x+2$，不成立。

选项 D：取 $f=g=h$ 为常值函数 $2$。左边 $(2\times 2)\times 2=8$；右边 $(2\times 2)\times (2\times 2)=16$，不成立。

故只有 B 恒成立，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算的理解；函数复合的结合结构；反例构造

核心方法：先代入定义机械展开（B 项两边同为 $f(h(x))g(h(x))$ 即证），其余用简单函数（常值、恒等、平移）构造反例

避坑指南：“乘积对复合可分配、复合对乘积不可交换”是本题结构本质：$((f\bullet g)\circ h)(x)=f(h(x))g(h(x))$ 天然成立，而"$h\bullet$"作用后复合顺序会乱；反例要选最简单的常值函数或恒等函数，一次算清两边；验证恒等式必须对”任意函数”成立，一组例子成立不算证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数新定义题与 2013-辽宁卷文-12、2011-湖南卷文-16、2014-山东卷理-15 同族。

结论推广：推广：把 $\circ$ 看作”复合”、$\bullet$ 看作”逐点乘法”，则恒等式 $((f\bullet g)\circ h)=(f\circ h)\bullet (g\circ h)$ 即”复合保持逐点乘法”；对应地 $((f\circ g)\bullet h)$ 与”先乘后复合”一般不等——这与数列中”$\sigma$ 环对可数并封闭”的分配律结构同源。

方法推广：新定义恒等式题：先符号展开可能成立的一项，其余用常值 / 恒等 / 平移函数各造一个反例，三反例一恒等即可定论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值
• 2011-湖南卷文-16 填-新定义函数计数
• 2014-山东卷理-15 填-新定义函数