2011-广东卷文-14 填-参数方程交点

本题导读

本题考查参数方程与普通方程互化，以及椭圆与抛物线的交点。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 〔选修 4-4：坐标系与参数方程〕

已知两曲线参数方程分别为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}\cos \theta ,\\ y=\sin \theta \end{array}$（$0⩽\theta <\pi$）和 $\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}{t}^2,\\ y=t\end{array}$（$t\in \mathbf{R}$），它们的交点坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：消参得上半椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$（$y⩾0$）与抛物线 $x=\frac{5}{4}{y}^2$
2. 步骤2：换元 $u=y^2$ 解四次方程

✅【答案】

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$\left(1,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一条曲线消参（注意 $0⩽\theta <\pi$ 给出 $y=\sin \theta ⩾0$）：$\frac{x^2}{5}+y^2=1$（$y⩾0$），为上半椭圆。

第二条曲线消参：$y=t$，$x=\frac{5}{4}{y}^2$，开口向右的抛物线（$t\in \mathbf{R}$ 无限制）。

联立：$\frac{1}{5}{\left(\frac{5}{4}{y}^2\right)}^2+y^2=1$，即 $\frac{5}{16}{y}^4+y^2-1=0$，亦即 $5y^4+16y^2-16=0$。

因式分解：$(5y^2-4)(y^2+4)=0$，$y^2=-4$ 舍去，$y^2=\frac{4}{5}$。

由 $y⩾0$ 得 $y=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$x=\frac{5}{4}\times \frac{4}{5}=1$。

故交点坐标为 $\left(1,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程消参；参数范围对曲线的限制（半个椭圆）；双二次方程的换元分解

核心方法：两曲线分别消参成普通方程，以 $y^2$ 为元解四次方程，最后用 $y⩾0$ 定唯一交点

避坑指南：$0⩽\theta <\pi$ 使椭圆只剩上半支——$y<0$ 的根必须舍去，否则会多出不存在的交点；$t\in \mathbf{R}$ 不加限制，抛物线是完整的；四次方程分解中 $y^2+4>0$ 恒正，实际只有一根 $y^2=\frac{4}{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程交点题与 2011-湖南卷文-09、2013-湖北卷理-16、2012-广东卷文-14 同族。

结论推广：推广：参数方程消参后必须回收参数范围（$\theta$ 的范围决定曲线片段）；曲线交点题中含 $y^2$ 的四次方程 $a{u}^2+bu+c=0$（$u=y^2⩾0$）常见，正负性是筛根的依据。

方法推广：参数方程交点题：消参、联立、换元三步走，参数范围最后筛根不可省。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-09 填-参数方程交点
• 2013-湖北卷理-16 填-椭圆的参数方程与标准方程
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标