2011-广东卷文-17 解-标准差与古典概型

本题导读

本题考查平均数与标准差，以及古典概型与组合计数。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 在某次测验中，有 $6$ 位同学的平均成绩为 $75$ 分. 用 $x_n$ 表示编号为 $n$（$n=1,2,\cdots ,6$）的同学所得成绩，且前 $5$ 位同学的成绩如下：

编号 $n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
成绩 $x_n$	$70$	$76$	$72$	$70$	$72$

(1) 求第 $6$ 位同学的成绩 $x_6$，及这 $6$ 位同学成绩的标准差 $s$；

(2) 从前 $5$ 位同学中，随机地选 $2$ 位同学，求恰有 $1$ 位同学成绩在区间 $(68,75)$ 中的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 由总和定 $x_6$
2. 步骤2：平方离差和除以 $n$ 开方得 $s$
3. 步骤3：(2) 组合数比 $\frac{{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_1^1}{{\mathrm{C}}_5^2}$

✅【答案】

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(1) $x_6=90$，$s=7$

(2) $P=\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $6$ 位同学总成绩 $6\times 75=450$，前 $5$ 位总成绩 $70+76+72+70+72=360$，故 $x_6=450-360=90$。

平方离差和 $(70-75{)}^2+(76-75{)}^2+(72-75{)}^2+(70-75{)}^2+(72-75{)}^2+(90-75{)}^2=25+1+9+25+9+225=294$。

$s^2=\frac{294}{6}=49$，$s=7$。

(2) 前 $5$ 位中成绩在 $(68,75)$ 内的有 $70$，$72$，$70$，$72$ 共 $4$ 位（$76$ 在外）。

从 $5$ 位中任选 $2$ 位共 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种；恰有 $1$ 位在内的事件数 ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_1^1=4$。

故所求概率 $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由平均数反求缺失数据；标准差公式；古典概型的组合计数

核心方法：总和 → 缺项 → 离差平方和 → 标准差；概率用”在内 × 不在内”的组合乘积比上总选法

避坑指南：标准差除以 $n$（不是 $n-1$）是中学口径，$s^2=\frac{294}{6}=49$ 别除 $5$；区间 $(68,75)$ 是开区间，本题 $76$ 明确在外、其余 $4$ 个都在内，数人数时 $70$ 出现两次要按人次计；分子”在内 1 位且在外 1 位”两个因子相乘，与分母 ${\mathrm{C}}_5^2$ 口径一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计与概率综合题与 2013-新课标I卷文-18、2012-北京卷文-17、2011-天津卷文-15 同族。

结论推广：推广：$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$ 是标准差的另一算法，本题 $\sum x_i^2=34044$，$\frac{34044}{6}-75^2=5674-5625=49$，与离差法互相验算。

方法推广：统计概率大题：(1) 缺项靠总和反推、标准差按公式硬算；(2) 古典概型先分类数人，再组合数作比，最后核对分子分母口径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-18 解-茎叶图与平均数
• 2012-北京卷文-17 解-统计表与方差最值
• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型