2011-广东卷文-21 解-抛物线轨迹与最值

本题导读

本题考查轨迹方程（等距与角条件的翻译），以及抛物线的定义（焦点与准线）。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:x=-2$ 交 $x$ 轴于点 $A$. 设 $P$ 是 $l$ 上一点，$M$ 是线段 $OP$ 的垂直平分线上一点，且满足 $\angle MPO=\angle AOP$.

(1) 当点 $P$ 在 $l$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2) 已知 $T(1,-1)$，设 $H$ 是 $E$ 上动点，求 $|HO|+|HT|$ 的最小值，并给出此时点 $H$ 的坐标；

(3) 过点 $T(1,-1)$ 且不平行于 $y$ 轴的直线 $l_1$ 与轨迹 $E$ 有且只有两个不同的交点，求直线 $l_1$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 等腰条件 $MO=MP$ 列式
2. 步骤2：角条件分”射线重合”与”反射对称”两类
3. 步骤3：(2) 抛物线焦点 $O$、准线 $x=-2$
4. 步骤4：$|HO|+|HT|=|H{H}_0|+|HT|⩾|H_{0}T|$

✅【答案】

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(1) $E$：$y^2=4x+4$（$x⩾-1$）或 $y=0$（$x<-1$）

(2) $|HO|+|HT|$ 的最小值为 $3$，此时 $H\left(-\frac{3}{4},-1\right)$

(3) $k\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup (0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $P=(-2,t)$，$M=(x,y)$。$M$ 在线段 $OP$ 的垂直平分线上，故 $MO=MP$：

$x^2+y^2=(x+2{)}^2+(y-t{)}^2$，整理得 $4x+4-2ty+t^2=0$。　（$\ast$）

角条件分两类：

情形一：射线 $OM$ 与射线 $OA$ 重合（$M$ 在 $x$ 轴负方向），$y=0$，代入 $(\ast )$ 得 $x=-\frac{t^2+4}{4}⩽-1$；$t=0$ 时 $x=-1$（顶点，归入抛物线部分），$t\ne 0$ 时 $x<-1$，得射线 $y=0$（$x<-1$）。

情形二：$OP$ 是 $\angle AOM$ 的内角平分线，射线 $OM$ 与射线 $OA$ 关于直线 $OP$ 对称。$\overrightarrow{OA}=(-2,0)$ 关于直线 $OP$（方向 $\overrightarrow{OP}=(-2,t)$）的反射向量与 $(t^2-4,4t)$ 同向，故设 $M=\lambda (t^2-4,4t)$（$\lambda >0$），代入 $(\ast )$ 解得 $\lambda =\frac{1}{4}$。

于是 $M=\left(\frac{t^2-4}{4},t\right)$，即 $y=t$，$y^2=4x+4$，且 $x=\frac{y^2-4}{4}⩾-1$。

反之，两类坐标均满足等距与角条件。故 $E$：$y^2=4x+4$（$x⩾-1$）或 $y=0$（$x<-1$）。

(2) 抛物线 $y^2=4(x+1)$ 的焦点为 $O(0,0)$，准线为 $x=-2$。对抛物线部分的点 $H(x,y)$，设 $H_0=(-2,y)$ 为 $H$ 在准线上的垂足，则 $|HO|=|H{H}_0|$。

$|HO|+|HT|=|H{H}_0|+|HT|⩾|H_{0}T|=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(-1-y{)}^2}=\sqrt{9+(y+1{)}^2}⩾3$。

当 $y=-1$ 且 $H_0$，$H$，$T$ 共线时取等：$y=-1$ 代入 $y^2=4x+4$ 得 $x=-\frac{3}{4}$，$H\left(-\frac{3}{4},-1\right)$。

对射线部分 $H=(x,0)$（$x<-1$）：$|HO|+|HT|=-x+\sqrt{(x-1{)}^2+1}$，令 $u=-x>1$，得 $u+\sqrt{(u+1{)}^2+1}>u+(u+1)>3$，取不到 $3$。

故最小值为 $3$，此时 $H\left(-\frac{3}{4},-1\right)$。

(3) $l_1$：$y+1=k(x-1)$。

先看与抛物线 $y^2=4x+4$ 的交点：由 $x=\frac{y^2-4}{4}$ 代入直线，得 $y+1=\frac{k(y^2-8)}{4}$，即 $k{y}^2-4y-8k-4=0$。

$k\ne 0$ 时判别式 $\Delta =16+4k(8k+4)=16(2k^2+k+1)>0$（$2k^2+k+1$ 的判别式 $1-8<0$，恒正），故直线与抛物线恒有两个不同交点。

$k=0$ 时 $l_1$ 为 $y=-1$，与 $E$ 只有一个公共点，舍。

再看与射线 $y=0$（$x<-1$）的交点：令 $y=0$，由直线方程 $1=k(x-1)$ 得 $x=1+\frac{1}{k}$。

该点落在射线（$x<-1$）上当且仅当 $1+\frac{1}{k}<-1$，即 $\frac{1}{k}<-2$，解得 $-\frac{1}{2}<k<0$。此时直线与 $E$ 有 $3$ 个不同交点，不合题意，应排除。

$k=-\frac{1}{2}$ 时该点为 $x=1-2=-1$，即顶点 $(-1,0)$——它属于抛物线部分（不在射线 $x<-1$ 上），不产生额外交点，保留。

综上，$k$ 的取值范围为 $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup (0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等距条件与角条件的代数化；抛物线焦点准线与”垂足折线”最值；判别式与射线交点的双重排查

核心方法：(1) 等腰列式 + 反射对称两类讨论；(2) 焦点在原点的抛物线用定义把 $|HO|$ 折到准线垂足，化为”垂足到定点”的直线段距离；(3) 交点个数 = 抛物线交点（恒 $2$）与射线交点的并集去重

避坑指南：(1) 角条件必须分类：$M$ 可在 $OA$ 射线上（得射线 $y=0$，$x<-1$），漏掉这段射线是本题最常见丢分；反射向量的方向 $(t^2-4,4t)$ 可用 $t=\pm 2$（$M$ 在 $y$ 轴上）等特例校验。(2) 三点共线取等要求 $y=-1$ 且 $H$ 在垂足与 $T$ 连线段上，射线部分严格大于 $3$ 要单独交代。(3) 排除区间由 $x=1+\frac{1}{k}<-1$ 解出 $-\frac{1}{2}<k<0$——分式不等式两边同乘 $k$ 必须分正负讨论；$k=-\frac{1}{2}$ 时交点恰为顶点 $(-1,0)$，属抛物线部分，不算第三个交点，故 $-\frac{1}{2}$ 保留、$k=0$ 舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹与抛物线综合题与 2011-湖北卷文-21、2013-北京卷文-09、2012-江西卷文-20 同族。

结论推广：推广：抛物线 $y^2=2p(x-x_0)$ 的”焦点 + 准线”结构把 $|HF|$ 折成 $|H{H}_0|$，$|HF|+|HT|$ 的最小值即 $T$ 到准线的距离（当 $T$ 与垂足的连线段穿过抛物线时取得）；直线与”抛物线弧 + 射线”拼接型轨迹的交点个数，等于抛物线交点与射线交点去重后的总数。

方法推广：圆锥曲线轨迹大题：几何条件（等距、角平分、反射）先翻译成向量式，轨迹分段讨论后各自成段；(3) 型交点范围题按”曲线交点恒成立 + 边缘曲线（射线）交点排查”两步走，端点值逐一代入定去留。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-21 解-轨迹方程与焦点三角形
• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线