2011-广东卷理-14 填-极坐标互化

本题导读

本题考查极坐标与参数方程，以及曲线参数方程与普通方程的互化。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 已知两曲线参数方程分别为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$ ($0⩽\theta <\pi$) 和 $\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}{t}^2\\ y=t\end{array}$ ($t\in \mathbf{R}$)，它们的交点坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 对第一个参数方程利用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消去参数 $\theta$，并标明范围限制。
2. 对第二个参数方程直接代入消去参数 $t$，得到抛物线普通方程。
3. 联立两普通方程求解实数解并检验参数取值范围。

✅【答案】

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$\left(1,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由第一条曲线参数方程消去 $\theta$ 得： $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 因为 $0⩽\theta <\pi$，所以 $\sin \theta \in [0,1]$，即 $y\in [0,1]$。 由第二条曲线参数方程消去 $t$ 得： $x=\frac{5}{4}{y}^2⟹y^2=\frac{4}{5}x$ 将 $y^2=\frac{4}{5}x$ 代入椭圆方程得： $\frac{x^2}{5}+\frac{4}{5}x=1⟹x^2+4x-5=0$ 解得 $x=1$ 或 $x=-5$。 因为 $y^2=\frac{4}{5}x⩾0$，所以 $x=-5$ 舍去，得 $x=1$。 将 $x=1$ 代入 $y^2=\frac{4}{5}x$ 得 $y^2=\frac{4}{5}$。 又由 $y\in [0,1]$，得 $y=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 故交点坐标为 $\left(1,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$。 故答案为 $\left(1,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：参数方程与直角坐标方程的转化，三角参数取值对函数值域的制约。
• 核心方法：代入消元法与三角恒等式消参。
• 避坑指南：必须注意参数范围 $0⩽\theta <\pi$ 限制了 $y⩾0$，解出 $y^2$ 后只能取正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修4-4《坐标系与参数方程》中二阶圆锥曲线联立的基本交点题型。
• 结论推广：利用参数方程求曲线交点，一般首选消去参数化为普通方程，但务必遵循“等价转化”原则，紧跟变量取值范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化
• 2014-湖南卷理-11 填-参数方程互化
• 2014-福建卷理-21B 解-坐标系与参数方程