2011-新课标卷文-03 单-偶函数与单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 下列函数中，既是偶函数又在 $(0,+\infty )$ 单调递增的函数是 ()

A. $y=x^3$　　　　B. $y=|x|+1$　　　　C. $y=-x^2+1$　　　　D. $y=2^{-|x|}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：逐一检验：$x^3$ 奇、$-x^2+1$ 与 $2^{-|x|}$ 在 $(0,+\infty )$ 递减、$|x|+1$ 偶且增

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=x^3$ 是奇函数，函数 $y=-x^2+1$ 和 $y=2^{-|x|}$ 在 $(0,+\infty )$ 上均单调递减。

函数 $y=|x|+1$ 是偶函数，且在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶性的定义；$|x|$ 型函数在对称区间上的单调性

核心方法：先淘汰奇函数，再对偶函数逐一判断 $(0,+\infty )$ 上的单调性

避坑指南：$2^{-|x|}$ 是偶函数但 $x>0$ 时指数 $-x$ 递减，函数递减；把”偶”与”增”两个条件同时核对，缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶性与单调性综合判断题，与 2013 年北京卷文第 3 题、2012 年重庆卷文第 12 题同族。

结论推广：$f(x)=g(|x|)$ 型函数必为偶函数，其在 $(0,+\infty )$ 的单调性与 $g$ 相同；这一结论可快速处理 $|x|+1$、$2^{-|x|}$ 等选项。

方法推广：多条件函数选择题用”逐条淘汰法”：先验奇偶（最快），再验单调，最后用特殊值复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间
• 2012-重庆卷文-12 填-偶函数求参数
• 2014-新课标II卷理-15 填-偶函数定义与性质