2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2y-5⩾0,\\ 2x+y-7⩾0,\\ x⩾0,y⩾0,\end{array}$ 则 $3x+4y$ 的最小值是 ()

A. $13$　　　　　　　B. $15$　　　　　　　C. $20$　　　　　　　D. $28$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：画可行域
2. 步骤2：顶点代入 $z=3x+4y$ 比较

✅【答案】

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A最小值为 $13$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由 $x+2y⩾5$，$2x+y⩾7$，$x⩾0$，$y⩾0$ 围成，顶点为 $(3,1)$（两斜边界交点）、$(5,0)$、$(0,7)$。

$z=3x+4y$ 在顶点处取值：$(3,1)$ 处 $z=9+4=13$；$(5,0)$ 处 $z=15$；$(0,7)$ 处 $z=28$。

故最小值为 $13$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点与线性目标函数最值

核心方法：联立边界方程求全部顶点，顶点代入比较

避坑指南：本题约束全是 $⩾$，可行域在两斜线右上方，最小值才会在顶点取得（与常见”最大值”题方向相反）；$(3,1)$ 由 $x+2y=5$ 与 $2x+y=7$ 联立（相减得 $x-y=2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划题与 2012-安徽卷文-08、2011-山东卷文-07、2012-浙江卷文-14 同族。

结论推广：推广：目标函数 $3x+4y$ 的等值线斜率 $-\frac{3}{4}$ 介于两边界斜率 $-\frac{1}{2}$ 与 $-2$ 之间，最值在顶点取得。

方法推广：线性规划：求出全部顶点逐一代入；先判最大还是最小，方向别搞反。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值
• 2011-山东卷文-07 单-线性规划最值
• 2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围