2011-浙江卷文-06 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及含参不等式。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 若 $a$，$b$ 为实数，则"$0<ab<1$"是"$b<\frac{1}{a}$"的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：充分性按 $a$ 的符号分两类检验
2. 步骤2：必要性举反例

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

充分性：设 $0<ab<1$，则 $a\ne 0$。当 $a>0$ 时，两边除以 $a$ 得 $0<b<\frac{1}{a}$，此时 $b<\frac{1}{a}$ 成立；当 $a<0$ 时，除以 $a$ 不等号反向，得 $\frac{1}{a}<b<0$，此时 $b>\frac{1}{a}$，结论不成立（如 $a=-1$，$b=-\frac{1}{2}$）。故不充分。

必要性：取 $a=1$，$b=-1$，则 $b=-1<1=\frac{1}{a}$ 成立，但 $ab=-1\notin (0,1)$。故不必要。

综上，"$0<ab<1$"是"$b<\frac{1}{a}$"的既不充分也不必要条件，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分与必要的判定；除以负数不等号反向

核心方法：分 $a>0$、$a<0$ 两路检验充分性；必要性用具体数值反例

避坑指南：$a$ 的符号不定时"$0<ab<1$"不能直接除成"$0<b<\frac{1}{a}$"——除以负数不等号要反向，这正是充分性被破坏的原因；反例 $a=1$，$b=-1$ 同时否掉必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件题与 2013-浙江卷文-03、2012-湖北卷文-09、2011-天津卷文-04 同族。

结论推广：推广：”$0<ab<1$ 且 $a>0$“才是"$b<\frac{1}{a}$"的充分条件；条件完备性取决于参数符号是否确定。

方法推广：充要条件题：两个方向各自独立检验，充分性找成立条件链，必要性找反例；含参数时先定符号讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-03 单-充要条件判定
• 2012-湖北卷文-09 单-充要条件与不等式
• 2011-天津卷文-04 单-充要条件判定