2011-浙江卷文-09 单-椭圆与双曲线渐近线

本题导读

本题考查椭圆与双曲线的共同焦点，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）与双曲线 $C_2:x^2-\frac{y^2}{4}=1$ 有公共的焦点，$C_2$ 的一条渐近线与以 $C_1$ 的长轴为直径的圆相交于 $A$，$B$ 两点.若 $C_1$ 恰好将线段 $AB$ 三等分，则 ()

A. $a^2=\frac{13}{2}$　　　　　B. $a^2=13$　　　　　C. $b^2=\frac{1}{2}$　　　　　D. $b^2=2$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：同焦点 $a^2-b^2=5$
2. 步骤2：渐近线 $y=2x$ 与圆 $x^2+y^2=a^2$ 的弦被椭圆三等分
3. 步骤3：把椭圆交点坐标代入椭圆方程

✅【答案】

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C$b^2=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$：实半轴平方 $1$，虚半轴平方 $4$，$c^2=1+4=5$，渐近线 $y=\pm 2x$。

椭圆与之同焦点：$a^2-b^2=5$。

以长轴为直径的圆为 $x^2+y^2=a^2$。渐近线 $y=2x$ 与圆的交点 $A$，$B$ 横坐标 $x=\pm \frac{a}{\sqrt{5}}$。

$AB$ 关于原点对称，$C_1$ 将 $AB$ 三等分，则椭圆与直线的两个交点恰为 $AB$ 的两个三等分点，横坐标 $x=\pm \frac{a}{3\sqrt{5}}$，即 $x^2=\frac{a^2}{45}$。

将 $y=2x$ 代入椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4x^2}{b^2}=1$。代入 $x^2=\frac{a^2}{45}$：$\frac{1}{45}+\frac{4a^2}{45b^2}=1$，即 $a^2=11b^2$。

与 $a^2-b^2=5$ 联立：$10b^2=5$，$b^2=\frac{1}{2}$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共焦点曲线族；渐近线与圆的弦；三等分的对称性

核心方法：“三等分 + 中心对称”把椭圆交点定在三等分点 $x=\pm \frac{a}{3\sqrt{5}}$；两个独立条件（同焦点、三等分）解两个未知数

避坑指南：三等分点是”距端点 $\frac{1}{3}$ 弦长处”，由对称性横坐标为 $\pm \frac{a}{\sqrt{5}}\times \frac{1}{3}$ 而非 $\pm \frac{a}{\sqrt{5}}\times \frac{2}{3}$；双曲线 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$ 的 $c^2=1+4=5$，别误用 $4-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共焦点与渐近线题与 2012-浙江卷文-08、2011-天津卷文-06、2013-山东卷文-11 同族。

结论推广：推广：双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{n}=1$ 的渐近线与圆 $x^2+y^2=a^2$ 的弦长为 $\frac{2a\sqrt{n}}{\sqrt{m+n}}$；弦被同心椭圆等分时交点坐标按比例缩放。

方法推广：圆锥曲线小题：把每个几何条件（同焦点、等分、相切）各自翻译成一个方程，联立解参数；对称结构先找中点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率
• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线