2011-湖北卷文-04 单-抛物线焦点正三角形

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及正三角形的对称性。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 将两个顶点在抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 $n$，则 ()

A. $n=0$　　　　　　B. $n=1$　　　　　　C. $n=2$　　　　　　D. $n⩾3$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由对称性设两顶点关于对称轴对称
2. 步骤2：列”边长相等”方程解出两解

✅【答案】

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C$n=2$

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。由对称性，正三角形的两个抛物线顶点必关于对称轴（$x$ 轴）对称，设为 $P_1\left(\frac{u}{2p},s\right)$，$P_2\left(\frac{u}{2p},-s\right)$，其中 $u=s^2$，$s>0$。

正三角形要求 $|P_1{P}_2|=|F{P}_1|$（三边相等）：$|P_1{P}_2|=2s$，$|F{P}_1{|}^2={\left(\frac{u}{2p}-\frac{p}{2}\right)}^2+u$。

$4u={\left(\frac{u-p^2}{2p}\right)}^2+u$，即 $12p^{2}u=(u-p^2{)}^2$，整理得 $u^2-14p^{2}u+p^4=0$。

判别式 $\Delta =196p^4-4p^4=192p^4>0$，两根 $u=p^2(7\pm 4\sqrt{3})=(2\pm \sqrt{3}{)}^2{p}^2$ 均为正，对应 $s=p(2+\sqrt{3})$ 与 $s=p(2-\sqrt{3})$。

每个解给出一个正三角形（$P_1$ 上、$P_2$ 下），共 $2$ 个，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的对称性；正三角形的边长条件；一元二次方程的根的个数

核心方法：“正三角形 + 焦点顶点”先由对称性锁定两顶点关于对称轴，把几何问题化成一个关于 $s$ 的方程

避坑指南：两个解 $s=p(2+\sqrt{3})$ 与 $s=p(2-\sqrt{3})$ 是两个不同的正三角形（大小不同），不是同一个的上下两半——对称的只是每个三角形自身；$(7\pm 4\sqrt{3})=(2\pm \sqrt{3}{)}^2$ 是识别这两个根的关键恒等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点几何题与 2011-山东卷文-09、2012-四川卷文-11、2011-新课标卷文-09 同族。

结论推广：推广：对抛物线 $y^2=2px$，以焦点为顶点的正三角形边长 $2s$ 满足 $s=p(2\pm \sqrt{3})$，两个三角形的高之比为 $(2+\sqrt{3}):(2-\sqrt{3})$；若换成等边圆锥曲线其余情形，可类似用对称 + 等边条件列方程。

方法推广：曲线上的特殊三角形计数：先对称定位（减少变量），再列边长（或角度）方程，方程正解个数即三角形个数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-09 单-抛物线定义与圆
• 2012-四川卷文-11 单-抛物线条数计数
• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积