2011-湖北卷文-13 填-古典概型至少

本题导读

本题考查古典概型，以及对立事件。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 在 $30$ 瓶饮料中，有 $3$ 瓶已过了保质期. 从这 $30$ 瓶饮料中任取 $2$ 瓶，则至少取到 $1$ 瓶已过保质期饮料的概率为$\underline{}$.（结果用最简分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：正难则反：$P=1-\frac{{\mathrm{C}}_{27}^2}{{\mathrm{C}}_{30}^2}$

✅【答案】

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$\frac{28}{145}$

✍【详细解析】

Abstract

总的取法 ${\mathrm{C}}_{30}^2=\frac{30\times 29}{2}=435$ 种。

“至少 $1$ 瓶过期”的对立事件是”$2$ 瓶都未过期”：${\mathrm{C}}_{27}^2=\frac{27\times 26}{2}=351$ 种。

故 $P=1-\frac{351}{435}=\frac{84}{435}$，约去公因数 $3$：$\frac{28}{145}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型；对立事件转化；分数约分

核心方法：“至少”问题先写对立事件，最后化最简分数

避坑指南：题目要求最简分数——$\frac{84}{435}$ 还能约 $3$，不约分会失分；也可正面算 $\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_{27}^1+{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_{30}^2}=\frac{81+3}{435}=\frac{28}{145}$ 两法互验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型题与 2011-浙江卷文-08、2011-山东卷文-18、2011-天津卷文-15 同族。

结论推广：推广：$N$ 件中 $r$ 件次品取 $k$ 件，“至少 1 件次品”概率 $=1-\frac{{\mathrm{C}}_{N-r}^k}{{\mathrm{C}}_N^k}$；本题 $N=30$，$r=3$，$k=2$。

方法推广：概率填空：见”至少”先对立，取法用组合数；最后看一眼题目要求的分数形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2011-山东卷文-18 解-古典概型
• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型