2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角

本题导读

本题考查正三棱柱，以及异面直线垂直。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面边长为 $2$，侧棱长为 $3\sqrt{2}$，点 $E$ 在侧棱 $A{A}_1$ 上，点 $F$ 在侧棱 $B{B}_1$ 上，且 $AE=2\sqrt{2}$，$BF=\sqrt{2}$.

(1)求证：$CF\perp C_{1}E$；

(2)求二面角 $E-CF-C_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：建系：底面正三角形 + 侧棱垂直底面
2. 步骤2：证数量积为零
3. 步骤3：二面角用两平面法向量夹角

✅【答案】

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(1)证明见解析

(2)二面角 $E-CF-C_1$ 的大小为 $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$A_1(0,0,3\sqrt{2})$，$B_1(2,0,3\sqrt{2})$，$C_1(1,\sqrt{3},3\sqrt{2})$，$E(0,0,2\sqrt{2})$，$F(2,0,\sqrt{2})$。

（1）$\overrightarrow{CF}=(1,-\sqrt{3},\sqrt{2})$，$\overrightarrow{C_{1}E}=(-1,-\sqrt{3},-\sqrt{2})$。

$\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{C_{1}E}=-1+3-2=0$，故 $CF\perp C_{1}E$。

（2）平面 $ECF$ 的法向量：$\overrightarrow{CE}=(-1,-\sqrt{3},2\sqrt{2})$，与 $\overrightarrow{CF}$ 叉积得 ${\mathbf{n}}_1=(\sqrt{6},3\sqrt{2},2\sqrt{3})$。

平面 $C_{1}CF$ 的法向量：$\overrightarrow{C{C}_1}=(0,0,3\sqrt{2})$，与 $\overrightarrow{CF}$ 叉积得 ${\mathbf{n}}_2=(3\sqrt{6},3\sqrt{2},0)$。

$\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩=\frac{\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}+3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6+18+12}\cdot \sqrt{54+18}}=\frac{18+18}{6\cdot 6\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

两平面夹角（锐）为 $45^{\circ }$；由图二面角 $E-CF-C_1$ 取锐角，故大小为 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱的坐标化；数量积证异面垂直；法向量求二面角

核心方法：底面正三角形定坐标（$C$ 的横坐标取 $1$、纵坐标 $\sqrt{3}$），两个”垂直/角”问题全部向量代数化

避坑指南：$E$、$F$ 的高度不同（$2\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$），坐标别抄串；二面角的大小要按图形判断取锐还是取钝——本题由图知两半平面张开不足 $90^{\circ }$，取 $45^{\circ }$；正三棱柱底面顶点坐标含 $\sqrt{3}$，叉积运算量大，逐项核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱柱垂直与二面角题与 2012-陕西卷文-18、2012-重庆卷文-20、2013-天津卷文-17 同族。

结论推广：推广：$CF\perp C_{1}E$ 的几何根源是 $AE\cdot BF=2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=4$ 与底边 $AB=2$ 满足”交叉垂直”的代数条件 $\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{C_{1}E}=0$；改变 $AE$，$BF$ 时垂直关系等价于 $AE+BF=3\sqrt{2}\pm \sqrt{2}$ 的特定搭配。

方法推广：正三棱柱/长方体类大题：建系优先；垂直证数量积、角算法向量；最后的大小判断看图定锐钝。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-18 解-直三棱柱垂直与体积
• 2012-重庆卷文-20 解-直三棱柱中的角与距离
• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直