2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值

本题导读

本题考查正弦定理，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且满足 $c\sin A=a\cos C$.

(1) 求角 $C$ 的大小；

(2) 求 $\sqrt{3}\sin A-\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A$，$B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 边化角得 $\sin C=\cos C$
2. 步骤2：(2) 用内角和把 $\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$ 化为 $-\cos A$
3. 步骤3：辅助角合一求最值

✅【答案】

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(1) $C=\frac{\pi }{4}$

(2) 最大值为 $2$，此时 $A=\frac{\pi }{3}$，$B=\frac{5\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，故 $c\sin A=a\cos C$ 化为 $\sin C\sin A=\sin A\cos C$。

$A\in (0,\pi )$，$\sin A>0$，两边约去 $\sin A$ 得 $\sin C=\cos C$，故 $\tan C=1$，$C=\frac{\pi }{4}$。

(2) $B=\pi -A-C=\frac{3\pi }{4}-A$，故 $B+\frac{\pi }{4}=\pi -A$，$\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)=\cos (\pi -A)=-\cos A$。

原式 $=\sqrt{3}\sin A+\cos A=2\sin \left(A+\frac{\pi }{6}\right)$。

由 $C=\frac{\pi }{4}$ 知 $A\in \left(0,\frac{3\pi }{4}\right)$，$A+\frac{\pi }{6}\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{12}\right)$，该区间含 $\frac{\pi }{2}$。

故当 $A+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $A=\frac{\pi }{3}$ 时，原式取最大值 $2$；此时 $B=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边角互化；$\tan C=1$ 定角；辅助角公式与区间最值

核心方法：边化角是第一反应；第 (2) 问先把 $B$ 全部换成 $A$，再辅助角合一，最后在 $A$ 的实际范围内定最值

避坑指南：约去 $\sin A$ 前要说明 $\sin A>0$（角在 $(0,\pi )$ 内）；最值不是对任意实数 $A$ 取的——$A+\frac{\pi }{6}$ 的范围是 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{12}\right)$，若不写范围直接说”最大值 $2$ 在 $A=\frac{\pi }{3}$ 取得”，论证不完整；$B$ 用内角和代回时别忘 $C=\frac{\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与三角最值题与 2011-湖北卷文-16、2011-山东卷文-17、2011-北京卷文-15 同族。

结论推广：推广：$c\sin A=a\cos C$ 型条件统一化角后约去公共正弦是标准动作；$\cos (\pi -A)=-\cos A$ 使"$-\cos (B+\frac{\pi }{4})$"变号，是本题能否凑成 $2\sin (A+\frac{\pi }{6})$ 的关键一步。

方法推广：解三角形大题：(1) 问边角互化；(2) 问先做角的整体代换（内角和消元），再合一变形，最后核对角的取值范围写全取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值